Estoy colaborando con algunos algebraica de los geómetras en un papel, y al escribir la introducción mencioné la interacción de la Combinatoria y Geometría Algebraica, y dio algunos ejemplos como la Combinatoria Nullstellensatz, la respuesta afirmativa a la conjetura de Leer y Rota-Garza-de Gales y la gráfica de la teoría de la analogía de la de Riemann-Roch teorema, pero luego, parece que todas estas interacciones son de una manera. Me gustaría saber de un importante Geometría Algebraica Teorema demostrado el uso de la Combinatoria, o al menos utiliza la combinatoria en una parte esencial.
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sickgemini
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2001
Haiman el estudio de la isospectral esquema de Hilbert (la reducción del producto de fibra de $\mathbb{C}^{2n}$ e $\mathrm{Hilb}_n(\mathbb{C}^2)$ sobre $\mathrm{Sym}^n \mathbb{C}^2$) cuenta con una larga combinatoria argumento acerca de la combinatoria de hyperplane arreglos y sus coordinar los anillos (la Sección 4, en los polígrafos).
MattSlay
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Muchas cosas en la geometría algebraica puede ser demostrado mediante una degeneración a objetos combinatorios como hyperplane arreglos, monomio ideales o tóricas de variedades.
Por ejemplo, de Fernex-Ein-Mustata demostrado una desigualdad que afectan a ciertos invariantes de una singularidad (por ejemplo, la de Samuel multiplicidad de registro y canónica umbral) por la degeneración de un monomio ideal. Para monomio ideales de la desigualdad es una simple consecuencia de la media aritmética geométrica significa desigualdad!
Otro ejemplo: Un genérico suave hipersuperficie no tiene automorfismos, como puede ser demostrado por degenerando a una unión de hyperplanes (que es rígido para un alto grado!).
Veehmot
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La equivalencia de las varias definiciones de algunos de Donaldson-Thomas invariantes se estableció por primera vez combinatoria a través de la igualdad de determinadas clases de plano particiones. Técnicas similares se han utilizado para acreditar además los resultados en esta dirección. Véase, por ejemplo, este papel por Benjamin Jóvenes, y la discusión de los mismos en el Capítulo 7 de este libro.
Peter Eisentraut
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Paul
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No voy a luchar duro acerca de "importante", pero aquí es un teorema que fue sin duda la combinatoria antes de que se geométricas.
Considerar la base de la $K(G/P)$ consta de $K$-clases de estructura de gavillas de Schubert variedades, $\{[\mathcal O_{X_\lambda}]\}$. Brion demostrado que los coeficientes $c_{\lambda\mu}^\nu$ en la estructura del producto son adecuadamente positivo, o más precisamente, no negativo veces $(-1)^{|\lambda|+|\mu|-|\nu|}$. La prueba es por una fuga teorema de la gavilla cohomology y no calcular los coeficientes.
Sin embargo, poco antes de que, Buch dio una fórmula real para estos coeficientes (aunque sólo en el caso de $G/P$ es un Grassmannian), con el menor corolario es que no había esta predicción signo. La prueba está casi completamente a la combinatoria y no explica "por qué", el signo debe ser predecible (para mí) como la satisfacción de una manera como Brion no. Pero es mucho más preciso, y lo que era antes.
