Este informe publicado recientemente$^{1}$ afirma lo siguiente notable de la identidad:
$$ P(s)=1-\sqrt{\frac{2}{\zeta(s)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(2s)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(4s)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(8s)}-...}}}}, $$
para un entero $s>1$ donde $\zeta(s)$ es la de Riemann zeta función se define como: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ e $P(s)$ denota el primer zeta función de $\sum_{p\in\mathbb{P}}^\infty \frac{1}{p^s}$, e $\mathbb{P}$ es el conjunto de los números primos.
Yo no soy un número teórico, pero el papel parece que podría contener algunos errores. Ya he planteado la cuestión aquí, y parece que puede ser la correcta. Sin embargo, después de realizar algunos cálculos con Wolfram Alpha, parece que la identidad puede tener algo de verdad.
Si denotamos por $\epsilon(s)$ el término de error $P(s)-\left(1-\sqrt{\frac{2}{\zeta(s)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(2s)}-...}}\right)$, obtenemos los siguientes resultados para las sucesivas finito de aproximaciones a la anidados radical, en el que el $k^{\rm th}$ aproximación es $\sqrt{\frac{2}{\zeta(s)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(2s)}-\sqrt{...-\sqrt{\frac{2}{\zeta(2^{k-1}s)}}}}}$, y en este caso tomando $s=2$:
\begin{array}{|c|c|} \hline k & \epsilon(2)\\ \hline 3 & 0.19732\ldots \\ \hline 4 & -0.13198\ldots \\ \hline 6 & 0.04839\ldots \\ \hline 5 & -0.035665\ldots \\ \hline 7 & 0.007512\ldots \\ \hline 8 & -0.013753\ldots \\ \hline 9 & -0.00304\ldots \\ \hline \end{array}
así que de hecho se ve como $\epsilon(2)$ es convergente a $0$ (nota: la expresión "parece", ya que no se ha de ejecutar cualquiera de los cálculos para realmente un gran $k$).
Además, mediante la adopción de $s=3$ la identidad anterior notablemente implica que:
$$ \zeta(3) = 2\left((1-P(3))^2+\sqrt{\frac{2}{\zeta(6)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(12)}-\sqrt{\frac{2}{\zeta(24)}-...}}}\right)^{-1}, $$
y, de hecho, tomando el finito anidada radical aproximación para $k=9$, el término de error ya es $\epsilon=-0.002516\ldots$ y parece acercarse a $0$ as $k\to\infty$ (nota de nuevo la expresión "parece").
Es posible que la identidad aún se mantiene, nonwithstanding de los problemas en el papel, y si es así, ¿cómo puede uno demostrar que? O hacer las aproximaciones para un gran $k$ realmente no producir $\epsilon\to0$? Si es así, ¿cómo puede la aparente convergencia se explica?
$^{1}$ Nota de que la revista en cuestión es un reputado, con Paul Erdős ser en algún momento el editor (entre el '95 y '96), no una segunda tasa de diario.
