Estoy tratando de educar a mí mismo acerca de los fundamentos de la teoría de los residuos en varias variables complejas. Como es generalmente escrito en la introducción en los libros de texto sobre el tema, la situación es mucho más difícil cuando pasamos de una variable y varias variables.
Así, por $n=1$ tenemos:
- Para un holomorphic $f$ con una singularidad aislada en el punto de $a$, el residuo de $f$ a $a$ se define como $$res_a f = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma} f dz$$for a small loop $\sigma$ around $a$.
Para $n>1$ tenemos:
(Shabat, vol. II) Para un meromorphic $f$ definido en $D \subset \mathbb{C}^n$ con la indeterminación locus $P \subset D$, elija una base $\sigma_{\alpha}$ de $H_1(D \setminus P, \mathbb{Z})$ y definir el residuo de $f$ con respecto al $\sigma_{\alpha}$ a $$res_{\sigma_{\alpha}} f=\frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\sigma_{\alpha}} f dz$$
(Griffith-Harris, Capítulo 5) Deje $U$ ser una bola de $\{z\in \mathbb{C}^n \ | \ ||z||< \varepsilon\}$ e $f_1,...,f_n \in \mathcal{O}(\bar{U})$ ser holomorphic funciones con un aislado comunes cero en el origen. Tome $\omega=\frac{g(z) dz_1 \wedge ... \wedge dz_n}{f_1(z)...f_n(z)}$ e $\Gamma=\{z \ : \ |f(z_i)|=\varepsilon_i\}$. El (Grothendieck) residuo está dada por $$Res_{ \{0\}} \omega=\frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{\Gamma} \omega .$$It can further be viewed as a homomorphism $$\mathcal{O}_0/(f_1,...,f_n) \to \mathbb{C}$$
En la "teoría General de mayores dimensiones residuos", Dolbeault discute residuos homomorphism, homológica residuos, cohomological residuos, residuos de corrientes, etc.
Así que, ya que hay muchas cosas diferentes que se llama residuo, mi pregunta es
¿Qué tipo de estructura son todas estas cosas tratando de capturar, por lo que llamamos todas estas cosas "residuo"?
En el Capítulo 3, Griffiths y Harris esquema de principio general cuando se habla de distribuciones y corrientes: $$(*) \quad D T_{\psi} - T_{D \psi} = \text{"residue"},$$where $T_{\psi}$ is the current $T_{\psi}(\phi)=\int_{\mathbb{R}^n} \psi \wedge \phi$ (this discussion takes plane on $\mathbb{R}^n$). They illustrate that by applying this principle to the Cauchy kernel $\psi=\frac{dz}{2 \pi i z}$: $$\phi(0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\mathbb{C}} \frac{\partial \phi(z)}{\partial \bar{z}} \frac{dz \wedge d \bar{z}}{z} \ \iff \bar{\partial}(T_{\psi})=\delta_{0}.$$
Este es un buen ejemplo, pero más tarde, cuando hablan sobre la Grothendieck residuo (2) en el Capítulo 5 no explican cómo encaja en la filosofía de $(*)$. Yo también no ver cómo (0), (1) y (3) se ajustan a esta filosofía. Así que tal vez se puede explicar cómo $(*)$ podría ser una posible respuesta a la pregunta que me hago.
