Cómo demostrar a $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n} - 1) = 0$?

Question

Quiero mostrar que $$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt[n]{n}-1) = 0$$ and my assistant teacher gave me the hint to find a proper estimate for $\sqrt[n]{n}-1$ in order to do this. I know how one shows that $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$, to do this we can write $\sqrt[n]{n} = 1+x_n$, elevamos ambos lados de la n-ésima potencia y, a continuación, utilizar el teorema del binomio (o para ser más específicos: el término a la segunda potencia). Sin embargo, no veo cómo este o cualquier otro trivial plazo (es decir, el primer o el n-ésimo) podría ser utilizado aquí.

¿Qué estimación se supone que voy a encontrar o hay incluso una manera más sencilla de mostrar este límite?

Gracias por las respuestas de antemano.

Answer 1

La OP del intento puede ser empujado para completar una prueba. $$ n = (1+x_n)^n \geq 1 + nx_n + \frac{n(n-1)}{2} x_n^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x_n^3 > \frac{n(n-1)(n-2) x_n^3}{6} > \frac{n^3 x_n^3}{8}, $$ siempre $n$ es "suficientemente grande" ¹. Por lo tanto, (otra vez, lo suficientemente grande como para $n$,) $x_n < 2 n^{-2/3}$, y, por tanto,$\sqrt{n} x_n < 2n^{-1/6}$. Por lo tanto $\sqrt{n} x_n$ enfoques $0$ por el sándwich (squeeze) teorema.

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¹De hecho, usted debería ser capaz de demostrar que para todos los $n \geq 12$, tenemos $$ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} > \frac{n^3}{8} \ffi \left( 1-\frac1n \right) \left( 1- \frac2n \right) \geq \frac34. $$

Answer 2

De la primaria a prueba el uso de $\text{AM} \ge \text{GM}$:

Tenemos que, para suficientemente grande $n$,

$$ \frac{1 + 1 + \dots + 1 + n^{1/3} + n^{1/3} + n^{1/3}}{n} \ge n^{1/n}$$

el uso de $\text{AM} \ge \text{GM}$ $n-3$ copias de $1$ y tres copias de $n^{1/3}$.

yo.e obtenemos la estimación

$$ 1 - \frac{3}{n} + \frac{3}{n^{2/3}} \ge n^{1/n}$$

Esta prueba puede ser generalizada para mostrar que

$$n^{(k-1)/k} (n^{1/n} - 1) \to 0$$

para cualquier entero positivo $k$.

Una variante de: la Prueba de que $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$

Answer 3

$$\sqrt[n]{n}-1=\exp\left(\frac{\log n}n\right)-1\sim\frac{\log n}n.$$

Answer 4

Escribir $$|\sqrt[n]n-1|=\left|\exp\left(\frac{\ln n}n\right)-1\right|=\int_0^{\frac{\ln n}n}e^tdt\leq \frac{\ln n}n\exp\left(\frac{\ln n}n\right).$$

Answer 5

Multiplicar a través de la raíz cuadrada para obtener $n^{(n+2)/2n} - n^{1/2}$. ¿Qué sucede con el exponente del primer término como $n$ llega a ser grande? Usted necesita para completar algunos detalles, pero esto podría darle un enfoque alternativo.