Cuán falso es el oropel de la prueba de Borsuk-Ulam?

Question

Supongamos $f: S^2 \rightarrow {\bf R}^2$ es continua; deje $A$ el conjunto de puntos de $u \in S^2$ tal que $f(u)-f(-u) \in {\bf R} \times \{0\}$ (donde $-u$ denota la antípoda de $u$). Dado $u,-u \in A$, deben existir una ruta en $A$ unirse a $u$ a $-u$?

El atractivo argumento presentado en https://www.youtube.com/watch?v=csInNn6pfT4 (que también he visto en otros lugares), la cual pretende demostrar la existencia de una $u \in S^2$ con $f(u)-f(-u) = (0,0)$, depende de que esta suposición no declarada.

¿Alguien puede concebir una $f$ para que $A$ es algo así como un topologist de la curva sinusoidal?

AÑADIÓ más TARDE: me gusta Ilya Bogdanov del ejemplo, y me pregunto si la podemos mejorar. Hay un $f$ de manera tal que ningún punto en $A$ puede estar unido a su antípoda por una curva continua?

Answer 1

Deje $S^2$ ser la unidad de la esfera en $\mathbb R^3$, $S^2_+=\{(x,y,z)\in S^2\mid z\geq0\}$ el hemisferio superior, $S^2_-$ hemisferio inferior y $B^2$ el cerrado de la unidad de disco en $\mathbb R^2$. Definir $p:S^2\to B^2$ por $p(x,y,z)=(x,y)$. Entonces las restricciones de $p_+:S^2_+\to B^2$ e $p_-:S^2_-\to B^2$ de % de $p$ son homeomorphisms. Definir una copia de la topologist de la onda sinusoidal en $B^2$ por $$W=\overline{\{(x,y)\in B^2\mid x\neq 0\text{ and } y = \tfrac12\sin\tfrac{\pi}x\}}.$$ Then, $K=p_+^{-1}(W)\cup p_-^{-1}(W)$ is a closed subset of $S^2$, con las siguientes propiedades:

1. $S^2\setminus K$ tiene dos componentes $U_+$ e $U_-$ y el antípoda de cada punto en $U_+$ se encuentra en $U_-$ y viceversa.
2. Antípodas de puntos en $K$ mentira en $K$, pero no hay ningún camino en $K$ entre cualquier par de antípodas.

Ahora considere el $f:S^2\to\mathbb R^2$ definido por $$f(x,y,z)=(0,\pm d((x,y,z),K)),$$ where $d$ is e.g. the Euclidean metric on the sphere and the sign is $+$ for $(x,y,z)\en U_+$ and $-$ for $(x,y,z)\en U_-$.

Esta función $f$ tiene las propiedades deseadas: es continua y el conjunto de puntos de $u=(x,y,z)$ tal que $f(u)-f(-u)\in\mathbb R\times\{0\}$ es, precisamente,$K$, debido a que para cualquier $u\in S^2\setminus K$, el segundo de los componentes de $f(u)$ e $f(-u)$ tienen signos diferentes.

Answer 2

Deje $S^2=\{(x,y,z)\colon x^2+y^2+z^2=1\}$, y establecer $f(x,y,z)=(x,\sin 1000x)$. Entonces el conjunto $A$ se compone de muchos componentes, y sólo uno de ellos contiene puntos opuestos.

Usted puede elegir lo que sea más interesantes de la función en lugar de $\sin 1000x$...