Positividad de los coeficientes de la inversa de una determinada serie de potencias

Question

Considere la serie de potencia formal única $g(z)$ con $g(0)=0$ y $g'(0)=1$ que satisface la ecuación $$ g(z)-g(z)^8+g(z)^{15}=z, $$ que es la inversa de
$$ z-z^8+z^{15} $$ en el grupo de series de potencias formales de la forma $z+O(z^2)$ . ¿Tiene esta serie algún coeficiente no positivo de potencias $z^{7k+1}$ ? (Los demás coeficientes son manifiestamente nulos).

Antecedentes. La existencia de coeficientes no positivos entre ellos implicaría que una determinada operada no supera la prueba de Ginzburg-Kapranov de Koszulness. (Véase http://arxiv.org/abs/0907.1505 ).

Observaciones. Los primeros diez mil de esos coeficientes son positivos. Algunos enfoques elementales de análisis complejo no funcionaron, pero tal vez no estoy al tanto de algunos trucos útiles.

Answer 1

Combinando los comentarios de Omar y fedja se obtiene una solución rápida. Por el Fórmula de inversión de Lagrange queremos demostrar que el coeficiente de $t^k$ en $(1-t+t^2)^{-(7k+1)}$ es positivo. Escribiendo esto como una integral de contorno, queremos calcular $$\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{dt}{t (1-t+t^2)} \left( \frac{1}{t (1-t+t^2)^7} \right)^k.$$

Establecer $f(t) = \tfrac{1}{t(1-t+t^2)}$ y $g(t) = \frac{1}{t(1-t+t^2)^7}$ , por lo que queremos $\tfrac{1}{2 \pi i} \oint f(t) g(t)^k dt$ . Los puntos críticos de $g$ están en $t=1/5$ y $t=1/3$ Así que tomemos nuestro contorno como un círculo de radio $1/5$ alrededor del origen. Queremos $\tfrac{1}{10 \pi} \int_{\theta=0}^{2 \pi} f(e^{i \theta}/5) e^{i \theta} g(e^{i \theta}/5)^k d \theta$ .

Tenemos $g(1/5) = \tfrac{30517578125}{1801088541} \approx 17$ y $g(e^{i \theta}/5)$ más pequeño que el de todos los demás $\theta$ . Establecemos $a=g(1/5)$ . Aquí hay un gráfico de $|g(e^{i \theta}/5)|$ ; dejo la prueba rigurosa para otros. Así que los valores de $\theta$ muy cerca $0$ dominan la integral. La serie de Taylor para $g(e^{i \theta}/5)$ comienza $a-b \theta^2$ donde $b=\tfrac{152587890625}{37822859361}>0$ . (Nótese la ausencia de un $i \theta$ término, porque elegimos un camino a través del punto crítico).

También, $f(1/5)=\tfrac{121}{25}>0$ Llama a esto $c$ . Así que la integral es aproximadamente $\int c (a-b \theta^2)^k d \theta \approx \int c a^k e^{-(b/a)k \theta^2} d \theta = \frac{C}{\sqrt{k}} a^k$ para algún positivo $C$ . En particular, es positivo para un tamaño suficientemente grande $k$ y, como dice Fedja, $10000$ va a ser más que suficiente. Te dejo los límites rigurosos.