Cada simplemente conectado racional de homología de la esfera es, de hecho, la costumbre de la esfera en dimensiones $2, 3.$ Es esto cierto en la dimensión 4? ¿Dónde están los primeros contraejemplos? (Sé que hay algunos en la dimensión 7.) Sí, el topológica de la categoría está muy bien, para evitar el suave conjetura de Poincaré.
Respuestas
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En la dimensión 4, tenemos las siguientes: Simplemente-conectividad implica que $H_1(M)=0$. La condición de que $M$ ser racional homología ámbito implica que $H_2(M), H_3(M)$ son finitely genera torsión grupos. De ello se sigue que $H^3(M) = Ext(H_2(M),\mathbb{Z})$, que es noncanonically isomorfo a $H_2(M)$ nuevo (que es cierto para finitely genera torsión de los grupos).
Pero la dualidad de Poincaré nos dice que $H^3(M)=H_1(M) =0$, lo $H_2(M)=0$. Del mismo modo, podemos obtener el $H_3(M)=0$. De ello se desprende que $M$ es ya una homología de la esfera.
En la dimensión 5, el primer contraejemplo: El llamado Wu colector $SU(3)/SO(3)$ tiene homología de grupos de $\mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}/2, 0, 0, \mathbb{Z}$, por lo que racionalmente, es una homología de la esfera.
Mike
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Una respuesta completa se puede encontrar en un artículo de D. Ruberman Null-homotópica incrustado esferas de codimension uno: un simple conectado racional de homología $n$-esfera que no es homeomórficos a $S^n$ existe si y sólo si $n\ge 5$. Vea en la parte inferior de la página 230 y el ejemplo 7 en la página.232.
Hai
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Sí, todos simplemente conectado racional de homología $4$-esfera es topológicamente el $4$-esfera. Simplemente conectado cerrado topológico $4$-variedades se clasifican por su intersección formulario de $Q_X:H^2(X;\Bbb Z) \times H^2(X ;\Bbb Z) \to \Bbb Z$ y sus Kirby-Siebenmann invariante por un famoso teorema de Freedman. Si el formulario es, incluso, el KS invariante automáticamente desaparece. Si $X$ es un racional de homología de la esfera, $Q_X$ claramente se desvanece (como $H^2(X;\Bbb Z)=0$), y por lo tanto $X$ debe ser homeomórficos a la $4$-esfera.
Ver: Michael H. Freedman & Frank Quinn Topología de 4-Variedades (PMS-39)
SyBer
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En la dimensión 5 y superiores, simplemente hay conectado racional de la homología de las esferas que no son esferas, por ejemplo, el Wu colector $SU(3)/SO(3)$, véase el Teorema 6.7 en [2] y Observación, p. 374 en [1]. Véase también [3] y el Lema 1.1 en [1] para más ejemplos.
[1] D. Barden, Simplemente se conecta cinco colectores. Ann. de Matemáticas. 82 (1965), 365-385.
[2] M. Mimura, H. Toda, Topología de la Mentira de los grupos. I, II. Traducido del 1978 edición Japonesa por los autores. Traducciones de Matemática Monografías, 91. Sociedad Matemática americana, Providence, RI, 1991.
[3] Ruberman, D. Null-homotópica incrustado esferas de codimension uno. En: Apretada y tensa submanifolds (Berkeley, CA, 1994), volumen 32 de Matemáticas. Sci. Res. De Inst. Publ., p 229-232. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.
