holomorphic K-teoría

Question

Topológica de la K-teoría general es definido por la configuración de $K(X)$ a ser el groupification de la monoid $Vect_\mathbb{C}(X)$ de vector complejo paquetes de más de $X$ (con la adición dada por Whitney suma). Sin embargo, alternativamente podemos declarar que $[B]\sim [A]+[C]$ siempre $0\rightarrow A \rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$ es una breve secuencia exacta de vector de paquetes de más de $X$ (morfismos están obligados a tener localmente constante de clasificación): ciertamente, si $B\cong A\oplus C$, entonces tenemos una secuencia, y en la otra dirección que puede tomar una métrica en $B$ e identifique $C$ con $A^\perp \subseteq B$.

Usted puede tomar el $K$-teoría de cualquier abelian categoría de uso de esta segunda definición. Así, tengo curiosidad por saber si la gente hace esto para la categoría de holomorphic vector de paquetes a través de una compleja colector. La anterior división de construcción ya no funciona, ya que utiliza las particiones de la unidad, así, suponiendo que el uso de esta definición más general que nos iba a llegar más las relaciones de equivalencia. Por otro lado, existe todo este negocio gracioso pasando con el vector paquetes topológicamente pero no holomorphically isomorfos, lo que significa que $K_{hol}(X)$ no acaba de ser un subquotient de $K(X)$. Así que al final, no estoy seguro de si debo esperar que esto sea más o menos manejable tipo de objeto.

Me han dicho que el anillo de Chow podría tener algo que ver con esto, pero en la página de la wikipedia parece indicar que es más análoga a la singular cohomology que cualquier otra cosa.

Answer 1

Grothendieck demostró que existe un analytification functor $X \mapsto X^{an}$ a partir de los esquemas localmente finito de tipo más de $\mathbb C$ a la categoría de (no reducido!) la analítica de espacios, que es totalmente fiel cuando se limita a la correcta esquemas. Esto induce a isomorphisms de $K-$ grupos en el sentido algebraico en $X$ a $K-$ grupos en la holomorphic sentido en $X^{an}$ . Esta es sólo una leve generalización de Serre de la GAGA principio demostrado para reducir, proyectiva variedades. Así que esto resuelve tu problema en el compacto algebraizable caso, contando algebraica de los geómetras para resolver ( y que en realidad saben mucho de la K-teoría de sistemas !)

En el diametralmente opuesto caso de Stein colectores, un hito teorema de Grauert también responde a su solicitud. Es decir, dado un complejo colector es evidente que existe una olvidadizo functor $Vecthol(X) \to Vecttop(X)$ de isomorfismo clases de holomorphic vector de paquetes en $X$ a clases de isomorfismo topológico de vector de paquetes en el subyacente espacio topológico $X^{top}$. Si $X$ es Stein, Grauert demostrado que el functor es un isomorfismo de monoids : cada topológico vector paquete tiene una única holomorphic estructura. ( Los resultados de esta naturaleza se ajusten a lo que se llama el "Oka principio". ) No hay problemas de extensión para el corto exacta de las secuencias de $0 \to \mathcal E \to \mathcal F \to \mathcal G \to 0$ debido a que todos los de split: en el Stein caso gracias al teorema de B y en la topológico caso porque de particiones de la unidad (teorema de B en el disfraz, en realidad: las poleas son acíclicos). Así, en el Stein caso también, usted puede relajarse y pedir topologists para hacer su trabajo .

Por último, hay un complejo de colectores entre estos casos extremos. Yo no soy consciente de que una teoría general allí ( por supuesto que no prueba nada, pero mi ignorancia) . Esto parece un tema interesante de investigación, especialmente en vista de Winkelmann del teorema ( enlace a la encuesta aquí) que en cada compacto de holomorphic colector de dimensión positiva $n $ existe un no-trivial de holomorphic vector paquete de rango $\leq n$.