¿Cuál es el generador de $\pi_9(S^2)$ ?

Question

Esta es más o menos la misma pregunta que [ ¿Cuál es el generador de $\pi_9(S^3)$ ? ], excepto que lo que me gustaría saber es si es posible describir este mapa de una manera que no sólo los topólogos puedan entender.

[EDIT] (Siguiendo el consejo de Ryan Budney.) Una construcción puramente geométrica como la famosa fibración de Hopf para $\pi_3(S^2)$ sería perfecto. (Algo así como un mapa $S^9\to S^2$ o $S^9\to S^3$ que puede ser escrito en ecuaciones). Pero entiendo que hay pocas esperanzas para ello.

Un enfoque menos explícito, pero probablemente más razonable, es intentar representar esta clase de homotopía mediante un 7-manifold enmarcado en ${\mathbb R}^9$ siguiendo a Pontryagin. De hecho, cualquier información sobre dicho colector puede ser de ayuda. ¿Es realmente complicado?

No estoy muy familiarizado con el trabajo de Jie Wu, pero lo que he leído hasta ahora tiene sentido para mí. Por lo tanto, la respuesta también puede estar en esta línea, pero si es así me gustaría ver más que pistas. (Este cálculo parece horrendo, y probablemente no pueda manejarlo por mí mismo).

Answer 1

Ya que mi antigua respuesta está referenciada aquí ¿Cuál es el generador de $\pi_9(S^3)$ ? , pasé un poco de tiempo tratando de averiguar lo que dice sobre esto. "La secuencia de Toda" es una $p$ -secuencia de fibras locales ( $p$ cualquier primo) de la forma $$ S^{2n-1} \to \Omega \widehat{S}^{2n} \to \Omega S^{2pn-1}, $$ donde $\widehat{S}^{2n}$ es un espacio determinado del que todavía no tengo que preocuparme; véase https://en.wikipedia.org/wiki/EHP_spectral_sequence . Esto retrocede un paso a un $p$ -secuencia de fibras locales $$ \Omega^2 S^{2pn-1} \xrightarrow{f} S^{2n-1} \to \Omega \widehat{S}^{2n}. $$ El grupo homotópico inferior no trivial de la fibra es $\mathbb{Z}$ y así obtenemos un mapa $$ \mathbb{Z}=\pi_{2pn-1}S^{2pn-1}=\pi_{2pn-3} \Omega^2 S^{2pn-1} \xrightarrow{f_*} \pi_{2pn-3}S^{2n-1}. $$ Cuando $p=3$ y $n=2$ esto da $\mathbb{Z}=\pi_{9}\Omega^2S^{11}\to \pi_9S^3$ que, por el argumento que di en mi otra respuesta, se somete a la imagen $\mathbb{Z}/3$ . Así que queremos calcular la imagen de $f_*$ en esta dimensión, es decir, el efecto sobre $f$ en la celda inferior de $\Omega^2 S^{2pn-1}$ .

Ahora, cuando $p=2$ La "secuencia de Toda" es la secuencia EHP de James (con $\widehat{S}^{2n}=S^{2n}$ ). En este caso $f_*$ es $\mathbb{Z}\to \pi_{4n-3}S^{2n-1}$ . Sabemos cuál es la imagen del generador en este caso: es el "cuadrado de Whitehead" $[\iota_{2n-1}, \iota_{2n-1}]$ que puede describirse geométricamente como el mapa de unión del $4n+2$ -célula de $S^{2n-1}\times S^{2n-1}$ .

Luego traté de averiguar cuál es la secuencia de Toda, con la esperanza de encontrar una descripción geométrica del mapa, y fracasé. Todo el mundo parece referirse a la secuencia de Toda Métodos de composición libro para esta secuencia, pero la afirmación que se da en Wikipedia no está realmente allí. Sin embargo, la idea de la secuencia (junto con la otra secuencia de Toda descrita en wikipedia) parece ser esencialmente 13.1 en el libro de Toda. A su vez, 13.1 no se demuestra en el libro de Toda, sino en el documento

Toda, Hirosi: Sobre la doble suspensión $E^2$ J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser. A. 7 (1956), 103-145.

La secuencia de fibras que me interesa es esencialmente el teorema 7.6 del artículo de Toda.

Answer 2

I publicó una respuesta a la pregunta anterior describiendo una forma de ver un generador de $\pi_9 S^3$ . A partir de la fibración de Hopf $$S^1\to S^3 \overset{\eta}{\to} S^2$$ y la secuencia exacta larga de la fibración, sabemos que $$\pi_9 S^1 = 0 \to \pi_9 S^3 \overset{\eta}{\to} \pi_9 S^2\to \pi_8 S^1=0 $$ es exacta, por lo que $\pi_9 S^3 \cong \pi_9 S^2$ a través del mapa de Hopf $\eta$ (comentario de @skd más arriba).

No estoy seguro de que estas respuestas sean sólo comprensibles para los topólogos, pero toda la información está disponible en el libro de Hatcher Topología algebraica (sin embargo, parte de la información no se demuestra allí, por ejemplo, la periodicidad de Bott).