¿Existe una explicación de alto concepto del álgebra dual de Steenrod como esquema de grupo de automorfismo del grupo aditivo formal?

Question

Recordemos que para cualquier espacio $X$ la cohomología $H^*X$ (siempre, en este puesto, con $\mathbb{Z}/2$ -) tiene una acción del álgebra de Steenrod $\mathcal{A}$ es decir, un morfismo natural $\mathcal{A} \otimes H^*X \to H^*X$ . Esto no es un morfismo de álgebras, sino $\mathcal{A}$ tiene una estructura de álgebra de Hopf tal que los diagramas apropiados que implican la comulgación en $\mathcal{A}$ y $H^*X$ de viaje.

Consideremos ahora un espacio con homología finitamente generada en cada grado. Entonces el álgebra de Steenrod actúa sobre la homología por dualidad, y al dualizarla se obtiene que el álgebra de Steenrod dual $\mathcal{A}^{\vee}$ coacciona en el anillo de cohomología completo; es decir, existe un mapa $$ H^*X \to H^*X \hat{\otimes} \mathcal{A}^{\vee}$$ que es de hecho un morfismo de anillos, y hace conmutar los diagramas apropiados para los productos en $X$ . De ello se desprende que cuando $X$ es un espacio H, y $H^*X$ es un álgebra de Hopf, entonces tenemos una coacción de $\mathcal{A}^{\vee}$ en el anillo de cohomología completo $H^{\star \star}X$ (o algo así). De todos modos, el resultado de esto es que $\mathrm{Spec} \mathcal{A}^{\vee}$ es un esquema de grupo (no conmutativo) debido a la estructura del álgebra de Hopf, y lo que realmente tenemos es una acción de este esquema de grupo (en algún sentido, al menos) sobre el esquema formal $\mathrm{Sppf} H^{\star \star}(X)$ .

En el caso de que $X = \mathbb{RP}^\infty$ , entonces el esquema formal que se acaba de describir es el grupo aditivo formal. El artículo de Milnor "The Steenrod algebra and its dual" muestra que $\mathrm{Spec} \mathcal{A}^{\vee}$ es precisamente el esquema del grupo de automorfismo de éste (es decir, un anillo polinómico sobre variables en cada potencia de $2$ menos uno). Esto se establece por cálculo en el documento de Milnor.

Q1: ¿Existe una explicación de alto concepto de por qué debería ser así?

Q2: ¿Cuál es la característica analógica $p \neq 2$ ?

Answer 1

Dados dos espectros $E$ y $F$ ¿Cómo podríamos conocer el contenido del espectro $E \wedge F$ ? Una cosa que podríamos intentar es elaborar un mapa interesante que incluya $E \wedge F$ como su fuente u objetivo que se relaciona con cosas que ya entendemos. Supongamos orientaciones complejas para $E$ y $F$ , por lo que los mapas $u: MU \to E$ y $v: MU \to F$ que combinamos para obtener un mapa $MU \wedge MU \to E \wedge F$ . La homotopía del espectro $MU \wedge MU$ lleva el ejemplo universal de un isomorfismo de ley de grupo formal, y así el mapa que construimos selecciona un isomorfismo de las leyes de grupo formales asociadas a las orientaciones compuestas $MU \xrightarrow{u} E \xrightarrow{\eta_F} E \wedge F$ y $MU \xrightarrow{v} F \xrightarrow{\eta_E} E \wedge F$ . En algunos casos tenemos la suerte de producir un isomorfismo de los grupos formales de $E$ y de $F$ como con su cálculo de intereses cuando $E = F = H\mathbb{F}_2$ : $$\operatorname{Spec} \pi_* H\mathbb{F}_2 \wedge H\mathbb{F}_2 = \operatorname{Aut}(\hat{\mathbb{G}}_a).$$ Esto definitivamente no va a suceder en general, ya que la homotopía del producto smash puede ser demasiado complicada o no lo suficientemente complicada, o las orientaciones compuestas podrían no compararse bien con las originales --- podrían estar "dañadas" de alguna manera a través del pushforward. En el caso del álgebra dual de Steenrod, se trata en cierto sentido de una afirmación sobre la dispersión de los objetos implicados. Pero, por lo que sé, esta es la explicación más profunda que se puede obtener en la actualidad.

Me han dicho que algo similar ocurre en el caso primario de impar, pero involucra a los automorfismos del "supergrupo" aditivo formal. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo funciona, y probablemente esté relacionado en general con mi escasa comprensión de la conmutatividad graduada y de los fenómenos dimensionales de impar en general. Definitivamente, se menciona brevemente en COCTALOS; la búsqueda de "super" lo traerá directamente si quieres leer unas cuantas frases más.

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Su mención de $\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ es algo independiente. La razón por la que las operaciones de Steenrod aparecen allí es que $\mathbb{R}\mathrm{P}^\infty$ es un $B\mathbb{Z}/2$ y $\mathbb{Z}/2 = \Sigma_2$ es un grupo simétrico que permuta las entradas a un producto de copa. Es un milagro totalmente diferente que esta receta para construir operaciones de cohomología agote todas las $H\mathbb{F}_2$ 's.

Answer 2

Lo que me gustaría decir es, hasta cierto punto, un comentario y una ampliación de lo que algunas personas han dicho en los comentarios anteriores.

Creo que la respuesta a (P1), sobre si existe una explicación de "alto concepto" para el álgebra dual de Steenrod, es "no" en el momento actual. Más aún, creo que el intento de hacerlo ahora mismo sería engañoso. Podemos asignar algunas descripciones de alto concepto a los fenómenos en términos de leyes formales de grupo, pero intentar dar una razón de alto concepto por qué que el álgebra de Steenrod adopte la forma en que lo hace sería malinterpretar el papel del álgebra de Steenrod.

Construimos la categoría de homotopía estable a partir de la categoría de espacios topológicos. A partir de su construcción, podemos decir muchas cosas en un lenguaje más antiguo y moderno. Es una categoría triangulada tensorial; es la categoría de homotopía de una categoría modelo estable simétrica monoidal; es la categoría de homotopía de una categoría estable $\infty$ -es una especie de forma "universal" de construir una categoría estable a partir de la categoría de espacios topológicos. Basándonos en esto, podemos describir muchas de las propiedades fundamentales de la categoría estable de homotopía y de la categoría de espectros. Sin embargo, hay un montón de categorías que satisfacen básicamente las mismas propiedades. Sin hacer más trabajo, no entendemos nada de detalles que distinguen la categoría de homotopía estable de cualquier otro ejemplo.

Este tipo de cálculos tiene su origen en el teorema de Hurewicz, el teorema de la suspensión de Freudenthal, el cálculo de Serre de la cohomología de los espacios de Eilenberg-Mac Lane y su método para calcular los grupos de homotopía de forma iterativa, y el método de Adams de alejarse de las torres de Postnikov y actualizar el método de Serre en la secuencia espectral de Adams. Antes de estos, no tendrías ninguna razón para creer necesariamente que la categoría de homotopía estable no es equivalente a, por ejemplo, la categoría derivada de complejos de cadenas sobre $\mathbb{Z}$ o alguna otra álgebra diferencial graduada extraña. Antes de tenerlas, no tienes el cálculo de Milnor de los grupos de homotopía de $MU$ o $MU \wedge MU$ y no tienes la interpretación de Quillen en términos del anillo de Lazard.

En resumen, la comprensión del álgebra de Steenrod y su dual son requisitos previos para todas las cosas cualitativas que entendemos sobre la categoría de homotopía estable para distinguirla de otro ejemplo. Ahora mismo no hay una puerta a la categoría de homotopía estable que provenga de los datos de los grupos formales, por mucho que nos gustaría tener una. Como resultado, creo que intentar asignar una descripción de alto concepto al álgebra de Steenrod es un retroceso en este momento.

El hecho de que a menudo los cálculos sean lo primero y las interpretaciones conceptuales lo segundo es algo que da al tema algo de su sabor. ¿Existen explicaciones de alto concepto de por qué los haces vectoriales deben tener clases de Stiefel-Whitney? ¿Por qué los haces vectoriales complejos deben tener clases de Chern? ¿Por qué las operaciones de potencia "cuadrática" en mod- $2$ la cohomología debe generar todas las operaciones de cohomología, y por qué todas las relaciones están determinadas por las que provienen de la composición de dos?

Esto no quiere decir que una descripción así no sea deseable. Sería muy deseable tener una ruta más directa desde los conceptos hasta la categoría de homotopía estable, porque construir objetos que realicen descripciones conceptuales puede ser muy difícil.