Derivación en real de la analítica de los colectores

Question

Deje $M$ ser un verdadero analítica del colector. Por $C^{\omega}(M)$ lo que significa que el álgebra de todas las funciones analíticas de $M$ a $\mathbb{R}$. Suponga que $D$ es una derivación en $C^{\omega}(M)$ .

Hay un real a nivel mundial analítica de campo vectorial $X$ a $M$ tal que $D(f)=X.f$ para todos los $f\in C^{\omega}(M)$?

La motivación:

La suave versión de esta declaración es verdadera, pero la prueba se basa en el uso de funciones analíticas no

Answer 1

$\def\RR{\mathbb{R}}\def\CC{\mathbb{C}}\def\NN{\mathbb{N}}$Voy a intentar una vez más. Como mi anterior defectuoso respuestas debería haber hecho obvio, el real de la analítica de la categoría no es mi casa, así que lea con precaución.

Muy bien, los dos grandes resultados que necesitamos son declaró como Corolario 5.43 y 5.44 aquí:

Cor. 5.43 $M$ tiene una adecuada real de la analítica de la incrustación en algunos $\RR^n$. Voy a escribir $(z_1, \ldots, z_n)$ de las coordenadas en $\RR^n$.

Cor. 5.44 (especializados y reformulado) Deje $p$ ser un punto de $M$ y deje $M$ ser incrustado en $\RR^n$ anterior. Deje $U$ ser un barrio de $p$ en $\RR^n$. Deje $f: M \cup U \to \RR$ ser una función que es real de la analítica en $U$ y en $M$. Deje $d$ ser un entero no negativo. Entonces no es un verdadero analítica de la función $g: \RR^n \to \RR$ tal que $g|_M=f$ e $(g-f)|_U$ se desvanece a fin de $d$ a $p$.

También necesitaremos los siguientes:

Fácil Lema: Vamos a $f: \RR^n \to \RR$ ser un verdadero analítica de la función para la que $f(z_1, \ldots, z_{n-1},0)$ es idéntica a cero. A continuación, $f(z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}, z_n)/z_n$ se extiende a un verdadero analítica de la función $\RR^n \to \RR$.

Prueba Este es un local de instrucción, y se puede comprobar fácilmente localmente el uso convergente de alimentación de la serie. $\square$

Clave Lema: Vamos a $g: \RR^n \to \RR$ ser un verdadero analítica de la función de fuga a fin de $d$ a $0$. Entonces podemos escribir $g(z)$ como una suma finita $\sum z^a p_a(z)$ donde $z^a$ son monomials de grado $d$ e $p_a(z)$ son reales funciones analíticas.

Prueba Por inducción en $d$ e $n$. El caso base $d=0$ es trivial: Escribir $g(z) = 1 \cdot g(z)$; en el caso base $n=0$ es vacuo. Asumimos $d$ e $n>0$. Definir $g(z_1, \ldots, z_n)$ por $$f(z_1, \ldots, z_n) = f(z_1, \ldots, z_{n-1}, 0) + z_n g(z_1, \ldots, z_{n-1}).$$ Por el simple Lema, $g$ es analítica y, por un básico de computación, se desvanece a fin de $d-1$. Por inducción en $d$, podemos escribir $g = \sum z^c r_c(z)$ cuando la monomials $z^c$ tienen un grado $d-1$. Por inducción sobre el número de variables, podemos escribir $f(z_1, \ldots, z_{n-1},0)$ as $\sum z^b p_b(z_1, \ldots, z_{n-1})$ donde el monomio $z^b$ tienen un grado $d$. Así $$f(z_1, \ldots, z_n) = \sum z^b p_b(z_1, \ldots, z_{n-1}) + \sum (z^c z_n) q_c(z_1,\ldots, z_n),$$ una expresión de la forma deseada. $\square$

Ahora podemos probar el resultado.

Lema Deje $f$ ser un verdadero analítica de la función en $M$ que se desvanece a segundo orden en $p$. A continuación,$(D f)(p)=0$.

Prueba de Incrustar $M$ en $\RR^n$ por Cor 5.43. Extender $f$ a una función en $\RR^n$ también de fuga a fin de $2$ a $p$ y, sin pérdida de generalidad, traducir $p$ a $0$. La Clave Lema, podemos escribir $f(z) = \sum z_i z_j c_{ij}(z)$. Entonces $$(D f)(0) = \sum (D z_i)(0) \cdot 0 \cdot c_{ij}(0) + \sum 0 \cdot (D z_j)(0) \cdot c_{ij}(0) + \sum 0 \cdot 0 \cdot (D c_{ij})(0) =0. \quad \square$$

Lema $(D f)(p)$ sólo depende de $(df)(p)$.

Prueba Supongamos que $(d f_1)(p) = (d f_2)(p)$. Definir $q(z)$ por la ecuación de $f_2(z) = f_1(z) + (f_2(p)-f_1(p)) + q(z)$,, a continuación, $q$ se desvanece a fin de $2$ a $p$ lo $(D q)(p) =0$. También, $D$ de una función constante es $0$. Así $(D f_1)(p) = (D f_2)(p)$. $\square$

El lema anterior muestra que existe una bien definida mapa de $v(p) : T^{\ast}_p M \to \RR$ de modo que $(D f)(p) = v(p)(d f)$. (Bueno, también tenemos que ver que $C^{\omega}(M) \to T^{\ast}_p M$ es surjective, pero que es evidente, porque las funciones de $z_i$ de intervalo de la cotangente del espacio.) Es fácil ver que $v(p)$ es lineal. Por lo $v(p)$ es un elemento de $(T_{\ast})_p M$. Ahora hemos creado una sección de $v: M \to T_{\ast} M$, de modo que $(D f)(p) = \langle v(p), df \rangle$. Queda por ver que $v$ es real analítica.

Esta pregunta es local. Deje $(z_1, \ldots, z_d)$ dar coordenadas locales en $M$ cerca de algún punto de $p$. Entonces podemos escribir $$v(p) = \sum_{i=1}^d v_i(p) \frac{\partial}{\partial z_i}.$$ Tenemos que mostrar que las funciones de $v_i$ son reales analítica. Desde $v_i = D z_i$, esto es claro. QED.