Una pregunta en el primer divisores de p-1

Question

Para cada entero positivo n se pueden definir los convergentes suma $$ s(n)=\sum_{p}\frac{(n,p-1)}{p^2} $$ donde la suma es sobre los números primos p y $(a,b)$ denota el máximo común divisor de a,b.

Es inmediato deducir que s(n) está acotada en promedio:

El uso de $\sum \limits_{d|a, d|b}\phi(d)=(a,b)$ e invirtiendo el orden de la suma obtenemos

$s(n)=\sum_{d|n}\phi(d) a_d$ donde $a_d=\sum_{p \equiv 1 (mod \ d)}p^{-2} $

Ignorando el hecho de que tenemos la suma de los números primos tenemos enlazado $a_d \ll \frac{1}{d^2}$, lo que conduce a $$\sum_{n \leq x}s(n) \ll x \sum_{d \geq 1}\frac{\phi(d)a_d}{d}=O(x) $$ y $$s(n) \ll \exp(\sum_{p|n}\frac{1}{p}).$$ The last inequality means that $s(n)$ stays bounded if $\omega(n)$ es delimitada. Hacia la otra dirección, parece justo esperar que $s(n)$ crece hasta el infinito si $\omega(n)$ es grande en algún sentido cuantitativo, dicen $\omega(n) \geq (1+\epsilon) \log \log n$. Teniendo en cuenta que la contribución a la suma de $s(n)$ de los números primos $p$ que satisfacer $(p-1,n) \leq \frac{p}{\log p}$ es acotado, ya que $\sum_{p}\frac{1}{p \log p}$ converge, vemos que $ s(n)=s'(n)+O(1)$ donde $s'(n)=\sum_{ (p-1,n)>\frac{p}{\log p}} \frac{(n,p-1)}{p^2}$ Estamos, por tanto, llevó a la pregunta de si una condición de la forma $\frac{\omega(n)}{\log \log n}-1 \gg 1$ puede garantizar que $s'(n) \to +\infty$ hay no trivial de las técnicas que pueden utilizarse para responder a esta pregunta ?

Answer 1

Su conjetura de que $s(n)$ se hace grande si $\omega(n)$ es grande no es la correcta.
Es posible que $n$ tener muchos primos, y para $s(n)$ todavía pequeño.

Esto se puede ver en algunos de los trabajos en su pregunta. Como nota $s(n) =\sum_{d|n} \phi(d) a_d$ donde $a_d =\sum_{p\equiv 1\pmod d} p^{-2} \ll 1/d^2$. Por lo tanto $$ s(n) \ll \sum_{d|n} \frac{1}{d} \le \prod_{p|n} \Big(1-\frac 1p\Big)^{-1}. $$ Si ahora cada factor primo de $n$ supera $\log n$, entonces (desde $\omega(n) \le \log n$ trivialmente) tenemos $$ s(n) \ll \Big(1-\frac{1}{\log n} \Big)^{-\log n} \ll 1. $$

Por lo tanto $n$ sobre $\log n/\log \log n$ factores primos, todos de más de $\log n$ y todavía $s(n)$ se $\ll 1$.

Answer 2

Simplemente estás tratando de mostrar a $s(n)$ es ilimitado? y no te insisten en que no trivial de la técnica? Deje $n=m!$; a continuación, $s(n)>\sum_{p\lt m}{p-1\over p^2}=\sum_{p\lt m}{1\over p}+O(1)$ y, por supuesto, la suma diverge.

Answer 3

Algunas ideas más: el uso de la Chebyshev límite superior, por parciales de suma tenemos
$\sum_{p>y}p^{-2}=O(\frac{1}{y \log y})$ y por lo tanto vemos que $s(n)=\sum_{p \leq \frac{n}{\log n}}\frac{(p-1,n)}{p^2}+O(1)$. Además, por la igualdad $\sum_{p \leq x}p^{-1}=\log \log x +A +(\frac{1}{\log x})$ tenemos $$s(n)=\sum_{p \leq n^{1/3}}\frac{(p-1,n)}{p^2}+O(1),$$ y uno puede hacer esto de forma más precisa.

Hay algo en la expresión de $s(n)=\sum_{d|n}\phi(d)a_d$ que está vinculado a Linnik constante (o la de Elliot-Halberstam Conjetura). En particular, el uso de $a_d=\sum_{p=1(\operatorname{mod} d), p>y} p^{-2} \leq d^{-2}\sum_{m>y/d}m^{-2}$, se puede deducir que $$s(n)=\sum_{d|n}\phi(d) a'(d)+O(1),$$ donde $$a'(d)=\sum_{p \leq d \log d {\log \log d}^2,\, p \equiv 1(\operatorname{mod} d)}\frac{1}{p^2}.$$ Que parece sugerir que, si $n$ es tal que $s(n)$ es grande, entonces para muchos divisores $d|n$ podría haber muchos primos $p \equiv 1 (\operatorname{mod} d)$ en el intervalo de $[d,d \log d {\log \log d}^{2}]$ y, a la inversa, pero no he sido capaz de establecer una conexión clara entre estos dos hechos. Para este fin, podemos calcular la media de los valores del $\sum_{n \leq x} s^{2k}(n), k \geq 0$, que es bastante sencillo. ¿Todo esto te recuerdan nada de lo que yo podría buscar?