Si hay un denso geodésica, son casi todos geodesics equidistributed? Densa?

Question

1. Deje $M$ ser un completo volumen finito de Riemann colector y $\gamma : \mathbb{R}^{\geq 0} \to M$ una geodésica. Supongamos que $\mathrm{im}(\gamma)$ es densa. Es equidistributed en la de Riemann medida? Es decir, ¿ $$ \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_0^T f(\gamma(t)) \, dt = \frac{1}{\mathrm{vol}(M)} \int_M f \, \mathrm{d vol} $$ para cada $f \in C_0(M)$? [False en general; true para Nilmanifolds. Cierto que una.e. en curvatura negativa, donde la geodésica es el flujo de ergodic. ]

2. Vamos ahora a $N \subset M$ ser un (inmersión) submanifold y $\gamma$ geodésica de $M$, que está contenida densamente en $N$. Es el submanifold $N \subset M$ totalmente geodésica? [False en general, aunque cierto para algunas variantes en curvatura negativa constante. Pero lo que si "totalmente geodésica" se debilita a la "mínima"?]

Añadido. Asaf la respuesta de nonethtless plantea una pregunta de seguimiento a 1:

1. (Revisada). Si hay un denso geodésica, debe haber también un equidistributed uno? Podría ser, de hecho, que casi todos los geodésica es entonces equidistributed? Realiza una única densa geodésica implica ergodic geodésica de flujo? Y en particular: ¿una densa geodésica implica casi todos los geodesics densa?

[Una revisión similar de 2 en lugar de involucrar a la condición de que casi todos los geodésica de $M$ que es tangente a $N$ en algún punto está contenido en $N$; pero entonces se deben seguir trivialmente (creo) que $N$ es totalmente geodésica. ]

Nota: Hay una analogía con la equidistribución y el Manin-Mumford teoremas, debido a Szpiro, Ullmo, y Zhang, para torsión puntos en abelian variedades de $A/\bar{\mathbb{Q}}$: Para una secuencia de torsión puntos que, finalmente, fuera de todo tipo de torsión traducir de un abelian subvariedad, la Dirac masas en la Galois órbitas convergen a la normalizado medida de Haar en $A(\mathbb{C})$ (donde una incrustación $\bar{\mathbb{Q}} \hookrightarrow \mathbb{C}$ ha sido fijo). Aquí, yo estaría tentado a pensar de una geodésica como correspondiente a un Galois órbita de torsión puntos (ya sea minimiza la energía funcional, o canónica de altura); y de una forma totalmente geodésica subvariedad como correspondiente a un Galois órbita de traducir de un abelian subvariedad por un punto de torsión (tenga en cuenta que en el caso de un piso de toro, el totalmente geodésica submanifolds son precisamente los subtori). La analogía es, probablemente, sólo superficial, pero pensé que podría ser vale la pena destacar (aunque sólo sea porque me llevó a esta pregunta).

Añadió más tarde. Uno más (final) pregunta a lo largo de la línea de 2.

En la geometría algebraica, tenemos los siguientes datos generales: Para $L$ un nef de la línea de paquete en una variedad proyectiva $X$ si $\deg_LC =0$ para un Zariski-denso conjunto de curvas de $C \subset X$,, a continuación,$\deg_LX = 0$. (Nef =no-negativa de la intersección de los números, =no-negativos en cada curva). Por si $\deg_LX > 0$, Riemann-Roch y la casi desaparición de la mayor cohomology de los poderes de nef línea de paquetes implica que $L$ es grande, por lo tanto, un poder de $L$ es eficaz. También podemos hacerlo en una media aritmética de configuración.

En la analogía de la nota anterior, que me llevó a considerar totalmente geodésica submanifolds, yo estaba confundido por el Manin-Mumford teorema, que es específico para conmutativa grupo de variedades y falla incluso para algebraica de los sistemas dinámicos. En su lugar, subvariedades de altura mínima debe ser análoga a la mínima inmerso submanifolds: las imágenes de armónica isométrica de las inmersiones (que incluyen totalmente geodésica como un caso particular, y coincidiendo con el geodesics en dimensión uno). Teniendo en cuenta el párrafo anterior, entonces, la pregunta siguiente sentido: Si el cierre de un mínimo de submanifold pasa a ser un inmersos submanifold, es este submanifold todavía mínima?

En la misma línea: Si tenemos una secuencia de complejo de curvas algebraicas en $\mathbb{CP}^n$ (imágenes de no-constante holomorphic mapas de compacto de las superficies de Riemann), cuya apoya convergen a un pacto real-analítica inmerso submanifold $M \subset \mathbb{CP}^n$ debe $M$ ser un complejo (algebraica) submanifold?

Answer 1

La primera pregunta es falso como se indica. Por Artin de codificación, geodesics en $SL_{2}(\mathbb{R})/SL_{2}(\mathbb{Z})$ correspondiente a las fracciones continuas, y la geodésica de flujo corresponde al cambio. Es fácil encontrar una fracción donde podrás ver cualquier prefijo (de ahí denso), pero no se equidistributed (dicen pensar acerca más y más bloques compuesto de $1$'s).

La situación es la misma, incluso para cocompact (hiperbólica) espacios homogéneos, y los relés en el hecho de que el correspondiente sistema dinámico es un sistema de Bernoulli, véase, por ejemplo, la encuesta de Katok en la Arcilla Pisa los procedimientos para obtener más información acerca de la codificación.

En el caso de que el colector es un Nilmanifold, la respuesta es cierto, que sigue de decir Furstenberg del teorema acerca de los giros de los productos (cuando se utiliza tanto en la versión topológica y la ergodic versión). Más fino (cuantitativa) los resultados son probablemente alcanzado por Green-Tao (véase el Tao de la post acerca de la Nilmanifold versión de Ratner del teorema). En el toral caso, esta hierve el hecho simplemente de Fourier la serie de cálculos y Weyl la equidistribución criterio o así.

En el rango más alto (semisimple) caso, las cosas se ponen más complicadas, como uno podría pensar acerca de multi-parámetro de acciones y, a continuación, la medida de clasificación del teorema por Lindenstrauss patadas, pero fue observado por Furstenberg en la $60$'s (y tal vez antes de que) de que, incluso para multi-parámetro de acciones, puede ser denso, pero no equidistributed órbitas. Tal vez la forma más fácil de juguete modelo de pensar es pensar acerca de la multiplicación de la acción de $<2,3>$ como un semi-grupo en el torus $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, y empezar a decir un número de Liouville para la base de $6$. Esta acción es algo de $S$-ádico analouge para un mayor rango de multi-parámetro diagonalizable acción.

Editar la dirección de la versión revisada de la pregunta, aquí la configuración geométrica que se están abordando de una manera más íntima. En el caso de espacios homogéneos ($G/\Gamma$, o usted puede tomar el apropiado localmente simétrica espacio), donde $G$ es semi-simple de decir, entonces, de la línea geodésica de flujo es ergodic (por ejemplo, de la de Howe-Moore, teorema de, o de la Bernoullicity teorema he mencionado). Como resultado, una simple aplicación de la pointwise ergodic teorema diré que para casi cada punto y cada dirección (la approperiate medidas aquí será la de Liouville medida en la unidad de la tangente paquete, que es realmente donde el flujo geodésico de "la vida"), la órbita es equidistributed. Para la variable de curvatura caso, mientras algunos naturales se cumplen las condiciones (por decir un límite superior en el corte de la curvatura, lo que es negativo en todas partes), la dinámica de la imagen es prácticamente el mismo (pero las pruebas son significativamente más involucrados, ya que no tienen rep. de la teoría a la mano). De nuevo en el Nilmanifold caso, la situación es mucho más simple, el juguete de modelo para que se tori, donde la cuestión de la racionalidad implica la densidad y equidistribución.

Me referiré a la Andre-Oort pregunta en los comentarios, como no soy un experto en este tema.

Answer 2

La respuesta a la pregunta 2 es negativo.

Deje $M$ la suspensión de la ronda esfera de $S^2$ por una irracional de la rotación $\phi$ (cuyo punto fijo debe ser llamado de los polos); es decir, $M$ es el cociente de $S^2\times \mathbb{R}$ por la relación $(x,t+1)\sim (\phi(x),t)$. Desde $\phi$ es una isometría de $S^2$, $M$ hereda una bien definida de Riemann métrica, que es localmente isométrica a una de Riemann producto de $S^2$ por un pequeño intervalo.En particular, las "líneas verticales" $\{x\}\times\mathbb{R}/\sim$ son geodesics de $M$. Ahora, considere la línea vertical emitido desde un punto de $p=(x,0)$; su cierre es el cociente de los) producto de un círculo por el $\mathbb{R}$ factor. Si $x$ no es ni el polo ni la mentira, en el ecuador, este submanifold está claro que no es totalmente geodésica.