¿Pueden ser conjuntos de dos puntos Borel?

Question

Recuerda que un conjunto de dos puntos es un subconjunto del plano que se encuentra con cada línea exactamente en dos puntos. Tal conjunto fue construido por primera vez por Mazurkiewicz en 1914.

Me pregunto si se resolvió la siguiente pregunta de Erdos:

Pregunta. ¿Existe un conjunto de dos puntos que sea Borel?

Ver Sobre conjuntos que se encuentran con cada línea exactamente en dos puntos, donde Mauldin dice que él "cree" que escuchó por primera vez el problema de Erdos, quien a su vez dijo que había estado presente desde que era un "bebé".

Observaciones. Un conjunto de dos puntos no puede ser $F_\sigma$ (según un resultado de Larman). También se sabe que si un conjunto de dos puntos es analítico, entonces es Borel.

Answer 1

Un conjunto de dos puntos no puede ser $F_\sigma$, como menciona Mohammad en su pregunta. Además,

Un conjunto de dos puntos no puede contener un subconjunto denso $G_\delta$ de un arco.

Esto fue demostrado por Gareth Davies en su tesis (Oxford, 2011), pero no creo que haya publicado este resultado. Hasta donde sé, no se conocen mejores resultados en la dirección de los conjuntos de Borel que no deberían funcionar.

En la otra dirección, los mejores resultados conocidos pertenecen a Arnie Miller. Mostró que

Si $V=L$, entonces existe un conjunto de dos puntos co-analítico.

Ver este artículo suyo de 1989 donde escribe sobre esta pregunta y otras cosas relacionadas, como bases de Hamel bien definidas y familias MAD. También ver este artículo relacionado de Zoltan Vidnyansky, que apareció más recientemente y extendió/aligeró algunos de los trabajos de Miller.

En un manuscrito no publicado que puso a disposición aquí en su sitio web, Arnie Miller también demostró que

Es consistente que el Axioma de Elección falle gravemente, pero aún así tenga conjuntos de dos puntos (por ejemplo, los conjuntos de dos puntos pueden existir incluso cuando no hay un buen ordenamiento de los números reales).

Ben Chad hizo bastante trabajo hace unos 5-10 años tratando de eliminar la Axioma de Elección de las construcciones de conjuntos de dos puntos tanto como fuera posible. Algunas de estas cosas se incluyeron en este artículo, en conjunto con Robin Knight y Rolf Suabedissen.