Un conjunto de dos puntos no puede ser $F_\sigma$, como menciona Mohammad en su pregunta. Además,
Un conjunto de dos puntos no puede contener un subconjunto denso $G_\delta$ de un arco.
Esto fue demostrado por Gareth Davies en su tesis (Oxford, 2011), pero no creo que haya publicado este resultado. Hasta donde sé, no se conocen mejores resultados en la dirección de los conjuntos de Borel que no deberían funcionar.
En la otra dirección, los mejores resultados conocidos pertenecen a Arnie Miller. Mostró que
Si $V=L$, entonces existe un conjunto de dos puntos co-analítico.
Ver este artículo suyo de 1989 donde escribe sobre esta pregunta y otras cosas relacionadas, como bases de Hamel bien definidas y familias MAD. También ver este artículo relacionado de Zoltan Vidnyansky, que apareció más recientemente y extendió/aligeró algunos de los trabajos de Miller.
En un manuscrito no publicado que puso a disposición aquí en su sitio web, Arnie Miller también demostró que
Es consistente que el Axioma de Elección falle gravemente, pero aún así tenga conjuntos de dos puntos (por ejemplo, los conjuntos de dos puntos pueden existir incluso cuando no hay un buen ordenamiento de los números reales).
Ben Chad hizo bastante trabajo hace unos 5-10 años tratando de eliminar la Axioma de Elección de las construcciones de conjuntos de dos puntos tanto como fuera posible. Algunas de estas cosas se incluyeron en este artículo, en conjunto con Robin Knight y Rolf Suabedissen.
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¿Tienes una referencia para la pregunta de Erdös?
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Creo que todavía está abierto según una búsqueda en Google Académico. Para un ejemplo de esto, ver la nota al pie 3 en Chad & Good's (2011) Homeomorfismos de Conjuntos de Dos Puntos en las Actas de la AMS (pdf).
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Para las personas curiosas sobre construcciones de conjuntos de dos puntos, agregaré un enlace a una pregunta anterior: Subconjunto del plano que interseca cada línea exactamente dos veces.
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Una vez intenté resolver este problema, comenzando con el primer caso desconocido: mostrar que dicho conjunto no puede ser G_delta. Me interesaría incluso saber si ese problema está resuelto.
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Vea también esta pregunta relacionada, mathoverflow.net/q/93601/1946, que plantea la pregunta correspondiente para otras construcciones geométricas que se pueden realizar utilizando el axioma de elección, pero donde no está claro si se pueden encontrar instancias explícitas o Borel.
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Este es el problema AM en la lista de problemas de Fremlin (essex.ac.uk/maths/people/fremlin/problems.pdf) hasta febrero de 2016. Parece atribuir la pregunta a Sierpinski. ¡Y está ofreciendo 34 libras esterlinas por una solución, en caso de que no estuvieras lo suficientemente interesado!