Caminata al azar en $\mathbb{R}$ con Uniformemente Distribuidos Pasos y "Reflexiva" Límite en el Origen

Question

Una partícula se encuentra en la recta numérica real en el origen. Para cada paso, la partícula se mueve desde su posición actual a una distancia (y dirección) elegido equi-probablemente rango de $[-1,r]$. Sin embargo, si la partícula de otra manera de mover a la izquierda del origen, la partícula se establece de nuevo en el origen antes del siguiente paso.

Dado $r$, puede cerrada de la expresión se deriva de la probabilidad de $P_{n,r}$ de la partícula en el origen después del paso $n$? Puede ser una expresión derivada para el centrado de la varianza $E_{n,r}(X^2)$?

Esta es una variación de un problema presentado aquí, donde en lugar de la partícula "morir" en el momento de cruzar el origen es simplemente un conjunto en el origen y se le permitió continuar. También, estoy preguntando acerca de la probabilidad de que simplemente estar en el origen en el $n$th paso, no se si en algún momento ha estado ahí.

Siendo sólo un posgrado, de todo lo que he conseguido es una conjetura de lo que la expresión podría ser para casos particulares. Inspirado por las excelentes respuestas para el problema original, yo directamente simulado el problema para encontrar las probabilidades y se presume que fueron dadas por una expresión racional $\frac{N_r(n)}{(1+r)^n n!}$. Sorprendentemente, mis resultados indicaron que el numerador era probable que un número entero en estos casos. Mis conjeturas como para el numerador para esos casos particulares son:

• $r=0$: $N_0(n)=n!$ (Se conoce con precisión, ya que $P_{n,0} = 1$ para todos los $n$)
• $r=1$: $N_1(n) = (2n-1)!!$
• $r\rightarrow\infty$: $N_r(n)\rightarrow (n+1)^{n-1}$

Edit: La conjetura para el caso de al $r$ obtiene arbitrariamente grande ha sido cambiado. Hubo un error tipográfico. (Yo estaba considerando su similitud con la Fórmula de Cayley y escribió que fuera de lugar!)

En este punto estoy perdido. Su consideración es de agradecer.

Actualización: he logrado obtener una mayor conjetura para la expresión de la "re-" el centro de probabilidad:

$$P_{n,r}=\left(\frac{a}{c}\right)^n\frac{\Gamma(1+\frac{d}{a}) \Gamma(1+\frac{b}{a}+n)}{\Gamma(1+\frac{b}{a}) \Gamma(1+\frac{d}{c}+n)}$$

No he hecho ningún progreso en la determinación de la dependencia de las cuatro variables $a$, $b$, $c$, $d$ en el parámetro de $r$, excepto en los casos obvios al $r=0$ e $r=1$. Si esta expresión sugiere accesibles a través de la combinatoria argumento yo estaría feliz de escuchar.

Segunda Actualización: me han cerrado de forma conjetura para el "re-center" probabilidad de que al $r \geq 1$:

$$P_{n,r}=\frac{\left(\frac{3r}{1+r}\right)_{n-1}}{(1+r)\left(2r\right)_{n-1}}, r\geq 1$$

Esta expresión se utiliza el aumento de Pochhammer símbolo. Parece fallar por $r<1$ por el motivo que sea.

Answer 1

Deje $X_1,X_2,\dots$ ser independientes idénticamente distribuidas variables aleatorias que representan los sucesivos saltos de la partícula. Deje $M_n$ ser la posición de la partícula en el tiempo $n\in\{0,1,\dots\}$, por lo que el $M_0=0$ e $M_n=\max(0,M_{n-1}+X_n)$ para $n\in\{1,2,\dots\}$. Vamos ahora a $F_n(x):=\mathbb{P}(M_n\le x)$ real $x$. A continuación, $F_0(x)=\mathrm{I}\{x\ge0\}$ e $F_n(x)=\frac{\mathrm{I}\{x\ge0\}}{1+r}\,\int_{-r}^1 F_{n-1}(x-y)\,dy$ para todos los verdaderos $x$ e $n\in\{1,2,\dots\}$. En particular, la probabilidad en cuestión es $P_{n,r}=\mathbb{P}(M_n=0)=F_n(0)$.

El trabajo en el cuaderno de Mathematica en n=1,2,3 (el correspondiente archivo pdf con n=1,2,3 - pdf) muestra que la expresión $$\frac{\left(\frac{3r}{1+r}\right)_{n-1}}{(1+r)\left(2r\right)_{n-1}},\quad r\geq 1,$$ más recientemente propuesto para $P_{n,r}$, es incorrecta, ya para $n=3$ (e $r\ne1$), aunque parece bastante cercana a la correcta.

Dudo que no es tan simple la forma cerrada de la expresión de $P_{n,r}$. Sin embargo, utilizando el telescopio espacial Spitzer de la identidad y el trabajo realizado en c.f. de X_+, se puede obtener una expresión integral para la generación de la función de $P_{n,r}$: $$ (*)\qquad \sum_{n=0}^\infty P_{n,r}z^n= \frac1{\sqrt{1-z}}\exp \Big(\frac1{2 \pi i}\,\int_0^{\infty } \ln\frac{(r+1) u-z (e^{i r u}-e^{-i, u})}{(r+1) u-z (e^{i, u}-e^{-i r u})} \, \frac{du}{u}\Big) $$ para la compleja $z$ con $|z|<1$. Para obtener (*), se puede empezar con la fórmula (23) en c.f. de X_+, analíticamente se extienden a complejas $s$ con $\tau:=\Im s\ge0$, y, a continuación, deje $\tau\to\infty$. Alternativamente, uno puede empezar con la segunda fórmula que se muestra en la página 159 (con $\lambda=0$) en Spitzer de 1960 y, a continuación, la razón como en c.f. de X_+; aquí también se debe tener en cuenta la declaración de (2.4) en la página 155 en Spitzer de 1960.

En particular, fácilmente se deduce de (*) que su expresión para $P_{n,r}$ es correcta en el simétrica caso, al $r=1$, pero al parecer sólo en este caso.

Addendum: aunque no parece ser una simple forma cerrada expresión para $P_{n,r}$, explícito, sino más bien complicado expresión para $P_{n,r}$ puede obtenerse a partir de (*). De hecho, expanda el logaritmo de vuelta en potencias de $z$. A continuación, utilice la integral de Cauchy teorema de ver que por natural $n$ $$\frac1{\pi i}\int_0^\infty\frac{f(u)^n-f(-u)^n}u\,du =1-2a_n,$$ donde $$f(u):=\mathbb{E}e^{iuX_1}=\frac{e^{iru}-e^{-iu}}{i(r+1)u}$$ para $u\ne0$ y $$a_n:=a_{n,r}:=\frac1{2n}\Big[1+\frac1{n!}\sum_{j=0}^n(-1)^j \binom nj \Big(\frac n{r+1}-j\Big)^n\,\text{sign}\Big(\frac n{r+1}-j\Big)\Big].$$

Se sigue de (*) que para el complejo de $z$ con $|z|<1$ $$\sum_{n=0}^\infty P_{n,r}z^n=\exp\sum_{k=1}^\infty a_k z^k =\prod_{k=1}^\infty\exp(a_k z^k) =\prod_{k=1}^\infty\sum_{q=0}^\infty \frac{a_k^q z^{kq}}{p!},$$ de dónde $$P_{n,r}=\sum\prod_{k=1}^n\frac{a_k^{q_k}}{q_k!},$$ donde la suma se toma sobre todos los $n$-tuplas $(q_1,\dots,q_n)$ de los números enteros no negativos tales que $1q_1+2q_2+\dots+nq_n=n$. En particular, para $n=0$ el conjunto de todos los $n$-tuplas es el singleton set $\{\emptyset\}$, y, como de costumbre, $\prod_{k=1}^0\ldots:=1$, por lo que el $P_{0,r}=1$. También, $$P_{1,r}=a_1=a_{1,r},\quad P_{2,r}=a_2+a_1^2/2!, \quad P_{3,r}=a_3+a_1a_2+a_1^3/3!. $$ La sustitución de aquí las expresiones para el $a_k$'s, uno ve que los resultados anteriores para $n=1,2,3$ está de acuerdo con los encontrados previamente en el cuaderno de Mathematica en n=1,2,3 (el correspondiente archivo pdf con n=1,2,3 - pdf) por iterativo de integración.

Answer 2

No una respuesta, pero estaba explorando un similar paseo aleatorio, por lo que pensé que iba a incluir una imagen de una simulación. En mi caminar, cada paso es de una longitud aleatoria extraída de una distribución normal con media de $\mu=0$ e $\sigma=1$. Así $x_{i+1} = x_i + \cal{N}$$(0,1)$ si que es no negativa, y de lo contrario,$x_{i+1}=0$.

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El eje Vertical es $x_i$; horizontal $i$, el número de pasos. El paseo vaga lejos de cero.