Lo que debe ser enseñado en un 1er curso en las Superficies de Riemann?

Question

Soy docente de un curso sobre temas de las Superficies de Riemann/Curvas Algebraicas término siguiente. El curso está dirigido a 1º y 2º año de postgrado a los estudiantes que han tomado cursos básicos en el álgebra y el colector de la teoría, pero no han tenido mucho exponer a la geometría algebraica. Yo vagamente seguir el libro Introducción a las Curvas Algebraicas por Griffiths. En particular, espero pasar una cantidad mínima de tiempo en el desarrollo básico de la maquinaria (por ejemplo, gavilla de la teoría) y empezar a hacer el hormigón de la geometría (por ejemplo, modelos canónicos de las curvas de género hasta 4) tan pronto como sea posible.

Mi pregunta es: ¿cuáles son algunas buenas concreto, accesible geométricas temas en la Superficie de Riemann/Curva de la teoría que no están en los libros de texto estándar?

Digamos que el estándar de los libros de texto son el libro que he mencionado y los que se analizan: aquí.

Answer 1

Los ejercicios en los primeros capítulos del libro de Arbarello Cornalba Griffiths y Harris son muy interesantes. El libro es en sí mismo un segundo curso, pero los primeros capítulos y execises son un resumen con interesantes excursiones.

Usted también puede mirar Clemens el libro de Un álbum de recortes de curvas complejas, somehing así.

Answer 2

Buena pregunta. Apuesto a que vas a obtener muchas respuestas interesantes.

Hace unos dos años me enseñó una "aritméticamente inclinado" versión de la norma curso sobre curvas algebraicas. Yo tenía la intención de hablar acerca de la degeneración de las familias de curvas, cálculo de superficies, semistable reducción y esas cosas, pero me pasé más tiempo (y disfrutar) algunos muy clásicos cosas acerca de la geometría de las curvas. Mis notas de la conferencia para la parte del curso están disponibles aquí:

Algunas cosas que he encontrado divertido:

1) la Construcción de las curvas con gran gonality. Por ejemplo, después de haber dado varios ejemplos de varias curvas, se me ocurrió que yo no había mostrado un no-hyperelliptic curva en cada género g >= 3, entonces me habló acerca de trigonal curvas, y luego...de todos Modos, hay una muy agradable teorema de aquí, debido a la Accola y Namba: supongamos una curva de $C$ admite mapas de $x,y$ a $\mathbb{P}^1$ de grados $d_1$ e $d_2$. Si estos mapas son independientes en el sentido de que $x$ e $y$ generar el campo de función de la curva (tenga en cuenta que esto debe ocurrir para una fácil algebraicas razones al $d_1$ e $d_2$ son coprime), entonces el género de $C$ es en la mayoría de las $(d_1-1)(d_2-1)$.

Hice la prueba en un ejercicio, que fue resuelto en un problema de sesión por uno de los alumnos.

2) Material de automorphism grupos de curvas: el Hurwitz obligado, automorfismos de hyperelliptic curvas, la construcción de curvas con interesantes automorphism grupo.

3) puntos de Weierstrass, con aplicaciones a 2) anterior.

Answer 3

Estas respuestas parecen tener casi nada en las superficies de Riemann. Supongo que soy demasiado vieja usanza. En un primer curso de las superficies de Riemann, me gustaría que el estudiante obtenga un entendimiento de la superficie de Riemann para el registro de z, y por arcsen z, por ejemplo.

Answer 4

Puiseux de la serie y el método de Newton-Puiseux teorema son hermosas y muy útil para entender la ramificación y temas relacionados. Aparecen en uno de los "libros de texto" de la lista (Farkas-Kra) pero parece que se suele pasar por alto.

Answer 5

Aunque es algo indirectamente, también podría ser bueno para hablar de algunos de introducción abelian variedad de cosas (como en las primeras páginas de Mumford del Abelian Variedades). La motivación vendría de demostrar la equivalencia de la definición de género como la dimensión de la variedad Jacobiana de la curva. Cuando me dio un "curvas" de la clase, me hubiera gustado ver esto en vez de pensar que el curso era "independiente".

No tenga miedo de mostrar imágenes de enormes áreas de matemáticas, que fueron motivados por el estudio de las curvas, incluso si usted no tiene tiempo para hacer más de lo que acaba de mencionar. Yo hubiera sido mucho más emocionado y motivado para aprender algunas de estas cosas si yo lo había visto motivado por las curvas, en lugar de al revés (el estudio de abelian variedades interesantes en su propio derecho y sólo más tarde en el aprendizaje de una motivación).