estable homotopy grupos y la función zeta

Question

He oído durante una discusión que no es bien conocida la relación entre el establo homotopy grupos de una esfera (más precisamente, el orden de estabilidad de los homotopy grupos de localizada esfera del espectro con respecto a algunos de homología de la teoría de la $E$) y los valores de la función zeta en algunos enteros.

$$ |\pi_{i}^{s}L_{E}\mathbb{S}| =^{?} \zeta(-n)$$ No estoy seguro de que la he entendido bien, voy a estar contento si alguien puede explicar esta relación.

Answer 1

Aquí es un poco más de la pulpa de la versión de mi comentario. Deje $K(1)$ ser la primera Morava $K$-teoría. Al $p$ es impar se puede calcular el homotopy grupos de la $K(1)$-localizadas esfera espectro para $$ \pi_nL_{K(1)}\mathbb{S} = \begin{cases} \mathbb{Z}_p, &n=0,1\\ \mathbb{Z}/p^{\nu_p(t')+1} & n=2(p-1)t'-1, t' \in \mathbb{Z}. \end{casos} $$ Aquí $\nu_p(x)$ es el $p$-ádico de valoración de $x$.

Siguiente Adams definir una función $m(l)$ por $$ \nu_p(m(l)) = \begin{cases} 0 & l \not \equiv 0 \mod (2(p-1)) \\ 1+ \nu_p(l) & l \equiv 0 \mod (2(p-1)). \end{casos} $$ Adams muestra (después de Milnor y Kervaire) que $m(2s)$ es el denominador de $\beta_{2s}/4s$ donde $\beta_s$ es el $s$-ésimo número de Bernoulli, y la fracción se expresa en la menor forma posible.

Uso estándar de las propiedades de $\nu_p(x)$ hay una equivalencia $\nu_p(t')+1 = \nu_p((n+1)/2)+1$. Desde $(n+1)/2 \equiv 0 \mod (2(p-1))$ vemos $$ \nu_p(m\left(2\cdot \frac{n+1}{4}\right)) = \nu_p((n+1)/2)+1 $$ y por lo tanto el orden de $\pi_nL_{K(1)}S^0$ es el denominador de $\beta_{(n+1)/2}/(n+1)$.

Edit: permítanme que intente decir algo acerca de la imagen de $J$ entonces. Este es un homomoprhism $J:\pi_nSO \to \pi_n\mathbb{S}$. Al $n=4k-1$ el orden de la imagen de $J$ es cíclico de orden el denominador de $\beta_{2k}/4k$. Deje $\text{Im}(J_n)_p$ denotar la imagen de la compuesta $\pi_nSO \to \pi_n\mathbb{S} \to \pi_n \mathbb{S}_{(p)}$. Creo que esto está destinado a ser isomorfo a $\pi_nL_{K(1)}\mathbb{S}$ para $n>1$.