¿Por qué es la categoría de los campos aparentemente tan mal comportamiento?

Question

En comparación con las categorías de otros "común" algebraica de los objetos como de los grupos y anillos, parece que los campos como un todo, faltan algunas propiedades importantes:

• No hay ningún inicial o terminal de objetos
• No hay campos libres
• No hay productos o co-productos
• Cada flecha es un mono (tal vez no es una mala cosa, pero todavía indica lo restrictiva que la categoría es)

Un lógico una vez me dijo de pasada que parte de la razón es que las propiedades de los campos contienen un decididamente "raro" de la propiedad, es decir, que cada elemento de un campo excepto el cero tiene un inverso multiplicativo. Si he entendido correctamente, esta propiedad es lo suficientemente diferente de los otros que la categoría de todos estos objetos pierde algunas características. Pero no tengo idea de si esto era una heurística o un teorema demostrado.

Answer 1

Hay un sentido preciso en el que el concepto de campo no es algebraico, como, por ejemplo, el concepto de anillo o de un grupo o espacio vectorial etc.: es un teorema que cualquier tipo de estructura matemática que se define como un conjunto de elementos y algunos fijos lista de las operaciones totales de la constante finita arity obedecer algunos fija la lista de los incondicional ecuación da lugar a una categoría con ciertas propiedades atractivas (que omito por el momento). La definición habitual de campo tiene una parte definida de la operación – inversión – así como una desigualdad ($0 \ne 1$), lo que significa que el teorema no es aplicable, el hecho de que la categoría de campos no tiene la agradable propiedades algebraicas de las categorías nos dice que hay realmente ninguna manera de definir los campos, de modo que el teorema se aplica.

Entonces, ¿qué se algebraicas comprar con nosotros, y cómo podemos reconocer una expresión algebraica de la categoría sin pensar acerca de la forma lógica de la definición? Así, una categoría es equivalente a una categoría de estructuras algebraicas si y sólo si tiene todas las propiedades siguientes:

• Tiene límites para todos los pequeños diagramas y colimits para las pequeñas filtrada diagramas.
• Hay un objeto $A$ tal que el functor $\mathrm{Hom} (A, -)$ tiene un adjunto a la izquierda, es monádico, y conserva colimits para las pequeñas filtrada diagramas.

De hecho, se sigue que esta categoría ha colimits para pequeños diagramas en general, pero este hecho no es necesaria en el teorema. Tenga en cuenta que el objeto de $A$ no es única hasta el isomorfismo; esto es, esencialmente, el fenómeno de la Morita de la equivalencia.