12 votos

Truco para las raíces de los polinomios simétricos

Dado un polinomio como $X^4 + 4X^3 + 6X^2 + 4X + 1,$ donde los coeficientes son simétricos, sé que hay un truco para encontrar rápidamente los ceros. ¿Podría alguien refrescarme la memoria?

16voto

Eric Naslund Puntos 50150

Una pista: Este polinomio en particular es muy bonito, y factores como $(X+1)^4$ .

Echa un vistazo a Triángulo de Pascal y el Teorema del Binomio para más detalles.

Añadido: Fórmula demasiado complicada

El cuártico particular por el que preguntaste tenía una buena solución, pero vamos a encontrar todas las raíces del más general $$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a.$$ Desde $0$ no es una raíz, estamos encontrando de forma equivalente los ceros de

$$ax^{2}+bx^{1}+c+bx^{-1}+ax^{-2}.$$ Dejemos que $z=x+\frac{1}{x}$ (como sugiere Aryabhatta) Entonces $z^{2}=x^{2}+2+x^{-2}$ para que $$ax^{2}+bx^{1}+c+bx^{-1}+ax^{-2}=az^{2}+bz+\left(c-2a\right).$$ Las raíces de ésta vienen dadas por la fórmula cuadrática: $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a},\ \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a}.$$ Ahora, tenemos entonces $$x+\frac{1}{x}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a}$$

y por lo tanto tenemos las dos cuadráticas $$x^{2}+\frac{b+\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a}x+1=0,$$ $$x^{2}+\frac{b-\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a}x+1=0.$$ Así se obtienen las cuatro raíces: $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{4a}\pm\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{b-\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a}\right)^2-1}$$

$$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{4a}\pm\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{b+\sqrt{b^{2}-4a\left(c-2a\right)}}{2a}\right)^2-1}.$$

Si introducimos $a=1$ , $b=4$ , $c=6$ encontramos que los cuatro son exactamente $1$ Así que nuestro caso particular sí funciona.

0 votos

Has perdido un par de $x$ s en las dos cuadráticas justo antes de las raíces.

1 votos

Eric, ¿podrías proporcionar una referencia para tu tentadora alusión a Aryabhatta?

2 votos

@Elgeorges: ¡¡Siento decepcionar, pero me refería a Aryabhatta, el usuario en MSE!! (Formely Moron, que también publicó una respuesta aquí)

13voto

Alex Bolotov Puntos 249

Una posibilidad: Dividir por $X^2$ y escribirlo como un polinomio en $Z = X + 1/X$ .

4voto

Andy Puntos 21

No estoy seguro de si esto es lo que estás pensando, pero si $x$ es una raíz, y $y=1/x$ y, a continuación, introduciendo $1/y$ y multiplicando el resultado por $y^n$ (donde $n$ es el grado del polinomio), vemos que $y$ también es una raíz del polinomio. Esto tiene dos consecuencias. En primer lugar, todas las raíces, excepto posiblemente las de $X=\pm 1$ viene en pares, por lo que si el polinomio es de grado impar, debe tener $\pm 1$ como raíz. Segundo, si es de grado par, entonces para cada raíz $x$ el polinomio es divisible por $(X-x)(X-1/x)=X^2-X(x+1/x)+1$ . Esto indica que deberíamos poder reescribir el polinomio en términos de $X+1/X$ . Podemos hacerlo de la siguiente manera.

Sea el polinomio $P(X)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ , donde $a_i=a_{n-i}$ Si $P(X)$ es de grado impar, sabemos que $1$ debe ser una raíz. Dividir por $X-1$ y $X+1$ hasta $\pm 1$ ya no son raíces, y se obtendrá un polinomio de grado par con coeficientes simétricos, por lo que a partir de aquí podemos asumir que $n$ está en paz.

Dividir $P(X)$ por $X^{n/2}$ para conseguir $P(X)/X^{n/2}=a_n(X^{n/2}+1/X^{n/2})+a_{n-1}(X^{n/2-1}+1/X^{n/2-1})+\ldots$ . Podemos escribir $X^k+X^{-k}$ como un polinomio en $(X+1/X)$ con coeficientes simétricos, y restando este trozo y repitiendo con los términos de grado inferior nos permite finalmente reescribir $P(X)/X^{n/2}=Q(Z)$ donde $Z=X+1/X$ . Así, hemos reducido el problema a uno de la mitad de grado.

Obsérvese que podemos simplificar el paso de la división con un poco de cálculo observando que $1$ es una raíz de $P(X)$ de la multiplicidad $k$ si $P(1)=P'(1)=P''(1)=\ldots P^{(k-1)}(1)=0$ pero $P^{(k)}(1)\neq 0$ y de forma similar para $P(-1)$ .

Además, vale la pena señalar que esto es muy similar a cómo, cuando se tiene un polinomio real, todas las raíces complejas tienen que venir en pares con sus conjugados, y así, una vez que te deshaces de todas las raíces reales, puedes escribir el polinomio como un producto de factores cuadráticos. Sin embargo, el hecho de que podamos reescribir nuestro polinomio aquí en términos de $X+1/X$ no tiene un análogo real.

0 votos

¿Cómo puede $X^k + X^{-k}$ puede escribirse como un polinomio en $(X+1/X)$ con simétrico ¿coeficientes? Yo calcularía $(X+1/X)^k$ y recoger los términos, pero los coeficientes resultantes no son simétricos. Por ejemplo, $X^2 + 1/X^2 = (X+1/X)^2 - 2$ .

0 votos

Hace tiempo que escribí la declaración, pero creo que lo que quería decir es que es simétrica en $X$ cuando se expande, lo que debería ser evidente. Tienes razón en que no es un polinomio simétrico de $(X+1/X)$ .

4voto

Shabaz Puntos 403

Puedes escribir $y=x+\frac{1}{x}$ y reducir el grado a la mitad. En este caso (tras comprobar que $x$ no puede ser $0$ ) $x^2+4x+6+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=y^2+4y+4$

0 votos

¿Es eso $y=x+\frac{1}{x}$ ? y $y^2+4y+6$ ?

0 votos

Sí debería haber un +, pero el término constante se convierte en 4 porque se obtiene 2 al elevar y al cuadrado.

0 votos

Argh..esperaba que fuera mucho más fácil sin tener que volver a calcular las constantes (lo que empeoraría mucho para un mayor grado.

2voto

Rob Thomas Puntos 126

Si se utiliza el teorema de la raíz racional, se encuentra que las únicas raíces racionales posibles son $\pm 1$ . Puedes comprobar si alguno de ellos funciona y, si es así, dividir por el factor correspondiente. Entonces obtienes un polinomio más sencillo, y en tu caso concreto podrías volver a utilizar el Teorema de la Raíz Racional para obtener un cuadrático.

EDIT: El teorema de la raíz racional dice que si tienes un polinomio con coeficientes enteros, y ese polinomio tiene una raíz racional $\frac{a}{b}$ donde $\frac{a}{b}$ está en términos mínimos, entonces $a$ divide el término constante y $b$ divide el coeficiente principal.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X