No estoy seguro de si esto es lo que estás pensando, pero si $x$ es una raíz, y $y=1/x$ y, a continuación, introduciendo $1/y$ y multiplicando el resultado por $y^n$ (donde $n$ es el grado del polinomio), vemos que $y$ también es una raíz del polinomio. Esto tiene dos consecuencias. En primer lugar, todas las raíces, excepto posiblemente las de $X=\pm 1$ viene en pares, por lo que si el polinomio es de grado impar, debe tener $\pm 1$ como raíz. Segundo, si es de grado par, entonces para cada raíz $x$ el polinomio es divisible por $(X-x)(X-1/x)=X^2-X(x+1/x)+1$ . Esto indica que deberíamos poder reescribir el polinomio en términos de $X+1/X$ . Podemos hacerlo de la siguiente manera.
Sea el polinomio $P(X)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i$ , donde $a_i=a_{n-i}$ Si $P(X)$ es de grado impar, sabemos que $1$ debe ser una raíz. Dividir por $X-1$ y $X+1$ hasta $\pm 1$ ya no son raíces, y se obtendrá un polinomio de grado par con coeficientes simétricos, por lo que a partir de aquí podemos asumir que $n$ está en paz.
Dividir $P(X)$ por $X^{n/2}$ para conseguir $P(X)/X^{n/2}=a_n(X^{n/2}+1/X^{n/2})+a_{n-1}(X^{n/2-1}+1/X^{n/2-1})+\ldots$ . Podemos escribir $X^k+X^{-k}$ como un polinomio en $(X+1/X)$ con coeficientes simétricos, y restando este trozo y repitiendo con los términos de grado inferior nos permite finalmente reescribir $P(X)/X^{n/2}=Q(Z)$ donde $Z=X+1/X$ . Así, hemos reducido el problema a uno de la mitad de grado.
Obsérvese que podemos simplificar el paso de la división con un poco de cálculo observando que $1$ es una raíz de $P(X)$ de la multiplicidad $k$ si $P(1)=P'(1)=P''(1)=\ldots P^{(k-1)}(1)=0$ pero $P^{(k)}(1)\neq 0$ y de forma similar para $P(-1)$ .
Además, vale la pena señalar que esto es muy similar a cómo, cuando se tiene un polinomio real, todas las raíces complejas tienen que venir en pares con sus conjugados, y así, una vez que te deshaces de todas las raíces reales, puedes escribir el polinomio como un producto de factores cuadráticos. Sin embargo, el hecho de que podamos reescribir nuestro polinomio aquí en términos de $X+1/X$ no tiene un análogo real.