¿Qué impide que dos haces vectoriales estables sean isomorfos?

Question

La situación concreta es la siguiente:

Dejemos que $n>0$ sea un número natural, y que $X$ sea un complejo CW finito de dimensión $n$ y que $\xi_0,\xi_1$ sean haces vectoriales reales orientados de rango $n$ en $X$ tal que $\epsilon\oplus\xi_0 \cong \epsilon\oplus \xi_1$ (donde $\epsilon$ es el haz trivial de rango 1). Aquí los haces vectoriales $\xi_i$ se consideran mapas $X\to BSO(n)$ y la operación " $\epsilon\oplus\cdot$ "se interpreta como una composición con el mapa natural $BSO(n)\to BSO(n+1)$ .

El isomorfismo estable afirma que existe una homotopía $H:X\times I\to BSO(n+1)$ entre los haces estabilizados, y para determinar si $\xi_0\cong \xi_1$ se llega al diagrama conmutativo

\begin{array}{ccc} X\times\{0,1\}&\to &BSO(n)\\ \downarrow & & \downarrow \\ X\times [0,1]&\to &BSO(n+1) \end{array}

donde el mapa superior restringido a $X\times\{i\}$ es $\xi_i$ . Los obstáculos a la elevación $H$ en este diagrama se encuentran en los grupos $H^k(X\times[0,1],X\times\{0,1\};\pi_{k-1}(S^n))$ por lo que (utilizando la iso de suspensión) el único obstáculo potencialmente distinto de cero, digamos $o(\xi_0,\xi_1)$ , se encuentra en $H^n(X;\mathbb{Z})$ .

Así que la pregunta en sí es "¿Podemos identificar esta obstrucción con algo familiar?" (Quizás restringiendo al caso de $X$ un colector o complejo de Poincare es más fácil)

En el caso de que $n$ es uniforme, una suposición sería $o(\xi_0,\xi_1)=e(\xi_1)-e(\xi_0)$ la diferencia de las clases de Euler. Esta es ciertamente una condición necesaria, y al menos en el caso de $X=S^2$ también es suficiente.

Para $n$ impar esta conjetura es definitivamente incorrecta: la clase euler de cualquier haz vectorial real orientado de rango impar es de 2 torsión, por lo que debe desaparecer para cualquier rango $n$ haz de la mano sobre $S^n$ pero el haz tangente de $S^n$ es establemente trivial y no es realmente trivial para $n\neq 1,3,7$ . En este caso no está tan claro cuál debe ser la descripción de la obstrucción.

(Observación: si $rank(\xi_i)>dim(X)$ entonces $\xi_i\cong\xi'_i\oplus\epsilon^k$ donde $\xi'_i$ tiene un rango igual a $dim(X)$ (esto se puede demostrar con un argumento de obstrucción utilizando la conectividad de las variedades de Stiefel). A continuación, mediante otro argumento de obstrucción se puede demostrar que, de hecho $\xi'_0\oplus\epsilon \cong \xi'_1\oplus\epsilon$ , por lo que el caso $rank(\xi_i)>dim(X)$ es manejado por el caso $rank(\xi_i)=dim(X)$ .)

Answer 1

Esto es sólo un comentario, pero un poco demasiado largo. Permítanme discutir el caso $n=5$ como ejemplo de cómo podría ser la información adicional más allá de la clase Euler.

La clasificación de los haces reales orientados de rango 5 sobre complejos CW de dimensión $\leq 5$ se dio en

• M. Cadek y J. Vanzura: On the classification of oriented vector bundles over $5$ -complejos. Czech. Math. Journal 43 (1993), 753-764.

El principal resultado es que el mapa $$ [X,BSO(5)]\to H^2(X,\mathbb{Z}/2)\oplus H^4(X,\mathbb{Z}/2)\oplus H^4(X,\mathbb{Z}): $$ $$ E\mapsto (w_2(E),w_4(E),p_1(E)) $$ es inyectiva si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

• Condición (A): $H^4(X,\mathbb{Z})$ no tiene elementos no triviales de orden $4$

• Condición (B): $Sq^2 H^3(X,\mathbb{Z}/2)=H^5(X,\mathbb{Z}/2)$ .

En particular, este resultado explica en qué medida el isomorfismo está determinado por las clases características. En el caso de la $5$ -esfera, los haces son establemente isomorfos si y sólo si tienen las mismas clases características. En el caso de la $5$ -esfera, los problemas provienen de la condición (B) - creo que allí hay una clase característica secundaria que toma valores en $H^5/Sq^2 H^3$ y que puede detectar el haz tangente. Tal vez esto se puede encontrar en el documento de Peterson y Stein en las clases características secundarias, pero no tengo acceso a comprobar ahora mismo.

Más información sobre la comparación entre isomorfismo e isomorfismo estable en dimensiones hasta $8$ debe estar en

• L.M. Woodward. The classification of orientable vector bundles over CW-complexes of small dimension. Proc. Roy. Soc. Edinburgh 92A (1982), 175-179.

Answer 2

Lo sé, llego tarde a la fiesta (como siempre) pero podría aportar algo más de información. En este artículo Demuestro que dos $5$ -de los haces vectoriales con $w_2=w_4=0$ sobre un giro $5$ -que son establemente isomorfas, son isomorfas si y sólo si sus semicaracterísticas generalizadas de Kervaire coinciden. Además, es posible demostrar que si $w_4\neq 0$ entonces el haz vectorial está determinado unívocamente por su clase estable.

Creo que debería ser posible generalizar esto a dimensiones más altas.