Motivación de la teoría analítica de números

Question

Soy estudiante de matemáticas y hace poco tomé un curso de introducción a la teoría analítica de números, en el que el instructor siguió a grandes rasgos el primer texto de Apostol sobre el tema. Ahora he empezado a leer "Teoría de los números multiplicativos" de Davenport. Sin entrar en demasiados detalles, he comprobado que, aunque los resultados utilizan algunas técnicas comunes en sus demostraciones, por lo demás son bastante independientes. Como soy relativamente inexperto, me pareció bastante extraño, teniendo en cuenta que la mayoría de los temas que he leído hasta ahora (análisis real y complejo, álgebra abstracta, teoría de la medida, análisis funcional, topología algebraica) parecen tener un desarrollo coherente, en lugar de ser simplemente una colección de problemas que se han resuelto utilizando una maquinaria más o menos similar.

Me preguntaba si hay una idea general detrás del estudio de la teoría analítica de números (clásica, así como los métodos de tamizado), algún problema abierto específico que haya motivado la investigación pasada en el campo, y si hay algún libro de texto que lo trate desde esa perspectiva, en lugar de ser sólo una colección de problemas interesantes. Por ejemplo, aunque sé muy poco al respecto, mi profesor me habló una vez del Programa Langlands y dijo que el objetivo actual de varios matemáticos que trabajan en áreas de teoría algebraica de números y formas automórficas es resolver las conjeturas de ese programa.

Además, a diferencia de muchas otras áreas, no pude utilizar eficazmente el enfoque que muchos de mis profesores parecen recomendar, de leer el teorema e intentar demostrarlo por mí mismo. Me inclino a creer que son mis propias deficiencias las que impiden este enfoque, pero si forma parte de una tendencia más amplia, y lo estoy leyendo "mal", a falta de una frase mejor, me gustaría saber lo mismo, y me gustaría saber cómo se puede aprender exactamente esta materia de la manera más eficiente.

No he conseguido formular la pregunta tan bien como esperaba, así que, si tienen alguna respuesta al título en sí, alguna motivación hacia una comprensión coherente del tema, entonces, les estaría muy agradecido por su aportación/consejo.

No estaba muy seguro de qué etiqueta utilizar, así que elegí la que me pareció más apropiada. Espero que esto no sea un problema.

Answer 1

Me arriesgaré a decir que, en mi opinión, lo normal, más que la excepción, es que una rama de las matemáticas sea una colección de resultados que podemos demostrar utilizando las técnicas que conocemos, más que una hermosa teoría coherente. Como estudiante, uno está expuesto a una muestra sesgada: las áreas de las matemáticas que se han desarrollado lo suficiente como para formar una teoría sistemática son precisamente las áreas que se prestan al "desarrollo coherente" que usted menciona. Esto puede crear la ilusión de que todas las áreas de las matemáticas son así.

Si la humanidad fuera colectivamente mucho más inteligente de lo que es, nuestro libro de texto sobre la teoría analítica de los números probablemente demostraría primero el "Teorema 1: La hipótesis de Riemann generalizada" y luego pasaría a demostrar todos los resultados que se predicen al pretender que los números primos son aleatorios pero que no se deducen inmediatamente de la HGR. Esto sería un tratamiento maravillosamente coherente del tema. Pero como estamos tan lamentablemente lejos de poder demostrar tales cosas, un libro de texto así simplemente no es una opción.

Dicho esto, estoy de acuerdo contigo en que algunos libros de texto podrían presentar más bosque y menos árboles de los que presentan. Un texto que recomendaría es el de Donald Newman Teoría analítica de los números . Newman subraya, con razón, que lo primero que hay que hacer para sentirse completamente cómodo es la idea de que se pueden estudiar los números estudiando sus funciones generadoras . Newman repasa varios ejemplos, empezando por los más fáciles y subiendo a los más difíciles. Sentirse completamente cómodo con la generación de funciones es tan importante que incluso te recomendaría que pasaras algún tiempo con libros como el de Wilf Generación de funciones o el de Flajolet y Sedgewick Combinatoria analítica para que te hagas una idea de lo que puede hacer la generación de funciones. Wilf y Flajolet-Sedgewick se interesan más por la combinatoria que por la teoría de los números, por lo que se centran en las funciones generadoras ordinarias y no en las series de Dirichlet, pero cualquier aumento de su nivel de comodidad con las funciones generadoras le reportará beneficios en su estudio de la teoría analítica de los números. Probablemente recuerde que el libro de Apostol dedica mucho tiempo a estudiar diferentes funciones generadoras y a formular muchos enunciados equivalentes diferentes de (por ejemplo) el teorema de los números primos. Todas estas manipulaciones me parecieron misteriosas e inmotivadas la primera vez que las encontré, pero una vez que entiendas el valor de empaquetar la información en una función generadora de diferentes maneras, las manipulaciones te parecerán menos desconcertantes.

La siguiente gran idea de la teoría analítica de los números es que el análisis complejo, en particular el estudio de los ceros y las singularidades, proporciona información asintótica sobre las funciones generadoras. De nuevo, el libro de Flajolet-Sedgewick da muchos ejemplos de este principio general para las funciones generadoras ordinarias (y exponenciales), donde es más fácil entender por qué hay una conexión entre las singularidades en el plano complejo y la asintótica. Para la teoría analítica de los números hay que estudiar también las series de Dirichlet, donde hay más dificultades técnicas, pero a alto nivel, la idea básica es la misma. Me gusta el tratamiento en el libro de Serre Curso de Aritmética que demuestra de forma unificada algunas propiedades básicas que se mantienen tanto para las series de Dirichlet como para las series de potencias ordinarias, y deja claro dónde empieza a romperse la analogía entre ambas. (También el tratamiento de Serre del teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas es muy limpio; históricamente, el teorema de Dirichlet fue posiblemente el primer gran resultado de la teoría analítica de números, por lo que es un buen teorema para dominar a fondo en una etapa temprana de su estudio). El tratamiento de las series de Dirichlet en el libro de Montgomery y Vaughan Teoría de los números multiplicativos también es excelente.

En algún momento creo que vale la pena estudiar el artículo de Riemann sobre la función zeta. El libro de Harold Edwards Función Zeta de Riemann ofrece una excelente visita guiada al trabajo de Riemann. El libro de John Derbyshire La primera obsesión también vale la pena mirarlo; es semipopular pero da suficientes detalles técnicos para que entiendas lo que realmente dice la fórmula exacta de Riemann. Creo que un conocimiento profundo de la fórmula exacta de Riemann será un gran paso adelante para conseguir la visión de conjunto de la teoría analítica de números que estás buscando.

Por último, para una breve visión general de todo el tema, creo que el libro de Andrew Granville artículo en el El compañero de matemáticas de Princeton es difícil de superar. Se adentra en temas como la teoría de los tamices y las brechas primarias que no he mencionado aquí.

Answer 2

Wladyslaw Narkiewicz ha publicado más de un libro sobre el desarrollo histórico de la teoría de los números. Recomiendo hojearlos una vez ahora, para hacerse una idea de un mapa parcial del terreno de la teoría analítica de números, y luego volver a ellos después de algún tiempo de estudio del tema. No soy un estudiante profesional de teoría analítica de números, pero mi exposición a varios temas de la teoría de números me hace apreciar mucho estos amplios estudios. Si sabe que va a dedicar tiempo a ANT, dedique ahora unas horas a leer sus libros The Development of Prime Number Theory y Rational Number Theory in the 20th Century (y otros libros suyos que le interesen). Será un tiempo bien empleado.

Gerhard "Los tiene en su mochila" Paseman, 2019.02.14.