El límite de borde-punto medio poliedros convexos

Question

   

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Comenzando con un poliedro convexo $P_1 \subset \mathbb{R}^3$, reemplazar con $P_2$, el casco convexo de los puntos medios de los bordes de $P_1$. De continuar este proceso, obtenemos una serie de poliedros se aproxima un cuerpo liso $B$ (o al menos, creo que se acerca un cuerpo liso). Consulte la sección anterior para $P_1,\ldots,P_5$—no a la misma escala.

Q1. Es $\lim_{n \to \infty} P_n$ $C^2$-suave, a partir de con no degenerada $P_1$? O sólo $C^1$-lisa? O sólo $C^0$?

Q2. Qué $P_n$ enfoque de un elipsoide como $n \to \infty$, para cada (no degenerada) a partir de las $P_1$? [Mi conjetura: No.]

Estos son, en cierto sentido, menos sofisticadas versiones de mi pregunta anterior, "Derivado" de los poliedros y polytopes, que se centró en la cara de los centroides en lugar de borde de los puntos medios. Pero aquí estoy de preguntas específicas en la suavidad y el límite de las formas. Aún así, tal vez @GjergjiZaimi la respuesta no se sostiene.

El límite de los objetos son casi subdivisión de superficies, pero no del todo.

Answer 1

Como Wlodzimierz mencionado, si el plano contiene a una cara de $P_1$, contiene una cara de todos los $P_n$. Ahora consideremos un conjunto finito de aviones de $W_i$ (creo $6$ va a hacer) tal que no elipsoide es tangente a todos ellos, pero algunos convexo cuerpo tiene caras en todos ellos. A continuación, la limitación de la forma no puede ser un elipsoide. Por ejemplo, este debería ser el caso si el poliedro es un prisma con la base de la foto aquí:

Answer 2

El límite puede ser dentro de $\varepsilon$ de cualquier convexo polytope:

Empezar con un polytope $P$, a continuación, reemplace cada vértice $v$ por tres vértices $v_1,v_2,v_3$ formando un triángulo con lados de longitud (menos de) $\varepsilon$ con centroide $v.$ y que no contiene ningún punto de $P$ otros de $v.$ Esto le da un polytope $P_1 \supset P$ con tres veces el número de vértices, pero con todos los puntos dentro de $\varepsilon$ de (el punto más cercano de) $P.$ , Entonces como el punto medio del borde proceso se aplica a $P_1$ se obtendrá un anidada serie de polytopes todos los que contienen $P.$ $P_1$ tendrá muchas caras aparte de la tingy triángulos y los centroides de estas caras será en el límite del cuerpo, por lo que el límite os estrictamente mayor que $P.$

Yo todavía me gustaría saber el límite exacto de un tetraedro regular (o irregulares, no importa) y en otros casos sencillos.

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Aquí están las primeras nueve etapas para $P_1$ el cubo (no se muestra) con vértices $(\pm 2,\pm 2,\pm 2).$ Los centroides de las $6$ caras, a distancia $\sqrt{4}$ desde el origen, será en el límite del cuerpo. Una es $[2,0,0].$

A continuación, $P_2$ es un cuboctahedron ($14$ caras, $12$ vértices) la introducción de $8$ nuevos centroides todos a la distancia $\sqrt{16/3}$. Una es $[4/3 ,4/3,4/3].$

A continuación, $P_3$ ha $26$ caras y $24$ vértices. Esto introduce $12$ de los centroides de todos a la distancia $\sqrt{9/2}.$ Un es $[0,3/2,3/2].$

Después de esto es $P_4$ con $50$ caras y $48$ vértices. El $24$ nuevos centroides son todos en la distancia $\sqrt{147/32}.$ Un es $[7/8,7/8,7/4].$

Finalmente, en esta imagen es $P_5$ con $98$ caras y $96$ vértices. Hay $48$ nuevos centroides introducido. La mitad son como $[0,7/8,15/8]$ a pie $\sqrt{137/32}$ y la mitad son como $[7/8,23/16,23/16]$ a pie $\sqrt{627/128}.$

No estoy seguro de cuánto de esto revela aparte de que el límite del cuerpo no es una esfera. Los centroides introducido, que permanecerá centroides en cada etapa y son puntos extremos de los límites del cuerpo se $6$ a pie $2$ entonces $8$ a pie$\approx 2.3094$ entonces $12$ a pie $\approx 2.1213$ entonces $24$ a distancias de $\approx 2.1433$ y, finalmente, $24$ cada a distancias de $\approx 2.0691,2.2132.$

En general no es trivial encontrar las caras y los bordes para que el casco convexo de un conjunto de puntos (incluso teniendo en cuenta que todos los puntos son los vértices.) Sin embargo, dado que la información en $P_i$ es fácil conseguir las $P_{i+1}$: Reemplazar cada cara por el punto medio de polígono y para cada vértice encontrar las caras es, desde cada uno tome un borde uniendo los puntos medios de los dos bordes y, a continuación, utilizar estos bordes a la lista de estos puntos en una orden válida.

Aquí se $P_i$ para $i=6,7,8,9.$ Cada uno de ellos se muestra dos veces. Una vez que se centra en un triángulo y una vez que no. Observe que el par y el impar de los casos un aspecto diferente. En la parte superior de la vista de $P_8$ puede parecer como si los tres triángulos y los diamantes se reúnen en un grado $6$ punto. Sin embargo, ese punto es en realidad un pequeño triángulo y los "triángulos" son trapecios con un lado corto.

El "ecuador" de $P_9$ se parece a esto

Answer 3

No tengo una respuesta completa. Espero que mi observación proporciona una idea y un punto de partida. Deje que todos los vértices tienen peso $\ 1.\ $ considera un plano arbitrario $\ W\ $ que contiene la cara $\ F\ $ de % de $\ P_n\ $ (en particular de $\ P_1).\ $ Luego de avión $\ W\ $ contiene las respectivas caras de todos los de la próxima generación de poliedros, y el centro de vértices de $\ F,\ $, y la de todos los de la próxima generación caras contenidas en $\ W\ $ es el mismo punto que pertenecen a las respectivas poliedros $\ P_{n+d}\ (d=0\ 1\ \ldots)$. Por lo tanto todos los mencionados centros pertenecen a la topológico límite de intersección $\ \bigcap_{n=1\ 2\ \ldots} P_n$.

Además (una EDICIÓN de sesión), cada uno de esos centros es el único punto de los respectivos avión $\ W.\ $ es una indicación muy fuerte de que la intersección $\ \bigcap_{n=1\ 2\ \ldots} P_n\ $ es estrictamente convexa.

Answer 4

Una variante de Robert Israel argumento: Tomar un cuerpo convexo $K$. Cortar por planos para hacer un poliedro $K_\epsilon\subset K$ cuya distancia de Hausdorff a $K$ es de menos de $\epsilon^2$ y el diámetro de las caras es menor que $C\epsilon$. Aplicar el borde-punto medio del proceso. A continuación, el límite del cuerpo tiene muchos puntos a distancia $<\epsilon^2$ a $\partial K$; una por cada cara. Así el conjunto de límite de órganos es denso en el conjunto de cuerpos convexos. En particular, la mayoría de límite de cuerpos no son elipsoides.

Alternativamente, usted puede formar un poliedro $K^\epsilon$ contiene $K$, arbitrariamente cerca de $K$, por tomar un número finito de la tangente a los planos. A continuación, aplique otra vez al borde del punto medio del proceso para obtener un límite de cuerpo cerca de $K$.