Esta pregunta me ha molestado por un tiempo desde que me enseñe a la introducción de las ecuaciones diferenciales de los cursos de vez en cuando, finalmente me busqué la referencia Anatoly dio y averiguar los detalles. Voy a soltar aquí en caso de que alguien más pueda obtener del uso de ellos.
Comenzando con la de segundo orden de la ecuación
$y'' + Py' + Qy = 0$
nosotros podemos hacer el cambio de variables $w = y \cdot e^{\int P/2}$. Este cambio de variables es muy inteligente; si usted trabaja fuera, que sucede a eliminar el primer término derivado y nos da una nueva de segundo orden de la ecuación de la forma
$w'' + Q_0w = 0$.
Si usted calcular hacia fuera, usted puede encontrar que $Q_0 = Q - \frac14P^2 - \frac12P'$. Nada de lujo aquí, justo lo que sucede cuando usted hace el cambio de variables. Esta $Q_0$ es el invariante de la de segundo orden de la ecuación que se menciona en la pregunta.
Dos de segundo orden ecuaciones que tienen el mismo invariante puede ser fácilmente transformado en uno de otro por un cambio de variables; simplemente cambiar las variables de una vez para llegar a la forma estándar $w'' + Q_0w = 0$ y, a continuación, cambiar las variables de vuelta hacia el otro.
Más difícil es que todos los cambios de las variables de preservar esta invariante; demostrando que para los cambios de variables y = G x es un fácil cálculo con un montón de cancelación, pero no estoy seguro de si necesitamos hacer más que eso para terminar la prueba.
Desde el punto de vista de alguien impartir introducción a las ecuaciones diferenciales, que normalmente se ocupan de segundo orden ecuaciones $y'' + Py' + Qy = 0$ donde $P$ e $Q$ son números reales. En este caso, el invariante $Q_0$ es sólo $-\frac14$ veces el discriminante de la ecuación auxiliar. Por lo que el teorema dice que cualquiera de las dos ecuaciones con el mismo auxiliar ecuación discriminante pueden transformarse el uno en el otro.
Por ejemplo,
$y'' + 6y' + 10y = 0$
ha $Q_0 \equiv 1$, por lo que
debe ser capaz de convertirse en
$w'' + 1w = 0$
a través de un cambio de variables. De hecho, si vamos a
$w = y e^{3x}$
entonces se obtiene la ecuación de $w'' + w = 0$, y la solución es
$y \cdot e^{3x} = c_1 \cos x + c_2 \sin x$
$y = c_1 e^{-3x} \cos x + c_2 e^{-3x}\sin x$.
Otro ejemplo:
$y'' + 6y' + 9y = 0$
ha $Q_0 \equiv 0$,
por lo que debe ser capaz de convertirse en simplemente
$w'' = 0$
a través de un cambio de variables. El cambio de variables sólo depende de $P$, y sí, $w = y e^{3x}$ es un muy buen cambio de variables. A través de esta ruta nos encontramos con
$y \cdot e^{3x} = c_1 + c_2 x$
$y = c_1 e^{-3x} + c_2 x e^{-3x}$
que por supuesto es correcto.
Así, en nuestra introducción ecuaciones diferenciales de clases, el invariante es sólo el conocido hecho de que si completamos el cuadrado de la ecuación auxiliar, podemos ver el cambio correcto de las variables que nos dejará con un montón de $\cos$, $\sin$, $\cosh$, y $\sinh$ además de nuestro exponenciales de $P/2$.
