Conmutativa anillos : Topoi = Campos :?

Question

El siguiente es probablemente una mala pregunta, pero con suerte, podría tener una muy buena respuesta.

En la categoría de teoría hay una muy famosa analogía entre los topoi y conmutativa de los anillos, nunca fue convencido por esta analogía, pero la mejor manera de ver lo lejos una analogía puede ser empujado a enfrentarse a él. Al hacer clic en el enlace que he proporcionado anteriormente, usted puede tener una extensa presentación de la analogía, el lema general puede apreciarse en la siguiente tabla.

Comentario 6.1.1.3. $\space$ Deje $\mathcal{X}$ ser $\infty$-categoría. La suposición de que colimits en $\mathcal{X}$ son universales puede ser visto como una especie de ley distributiva. Se tiene la siguiente tabla de vagas analogías:

$$\begin{array}{ccc} && \text{Higher Category Theory} && \quad && \text{Algebra} && \\ \hline \\ & & \infty\text{-Category} & & & & \text{Set} \\ \\ & & \text{Presentable } \infty\text{-category} & & & & \text{Abelian group} \\ \\ & & \text{Colimits} & & & & \text{Sums} \\ \\ & & \text{Limits} & & & & \text{Products} \\ \\ & & \varinjlim(X_\alpha) \times_S T \simeq \varinjlim(X_\alpha \times_S T) & & & & (x + y)z = xz + yz \\ \\ & & \infty\text{-Topos} & & & & \text{Commutative ring} \end{array}$$ Definición 6.1.1.2 tiene una reformulación en el lenguaje de la clasificación de los functors ($\S$3.3.2):

Que corresponde a Rem 6.1.1.3 en mi versión de la HTT por Lurie.

P. de Acuerdo a esta analogía, lo que debería ser un campo?

Tal vez debería decir por qué esto podría ser una pregunta estúpida, o incluso un estúpido reto para la analogía. De hecho, podría darse el caso de que:

1. La noción de campo sólo es interesante en baja dimensión.
2. La correcta generalización de la noción de campo es muy diferente en categorías y banaliza para los juegos debido a su intrínseca de la rigidez.

Answer 1

Este es un comentario largo. Yo prefiero decir que (Grothendieck) topoi son "(algunos) afín a los esquemas de más de $\text{Spec } \text{Set}$." Aquí está mi versión preferida de la mesa, espolvorear $\infty$s de acuerdo al gusto:

• Categorías y functors : conjuntos
• Presentable y categorías de la izquierda adjoints : abelian grupos
• Monoidal presentable categorías y monoidal izquierda adjoints : anillos
• Monoidal simétrica presentable categorías y monoidal simétrica a la izquierda adjoints : conmutativa anillos

(Aquí todos monoidal estructuras de distribuir más de colimits, que supongo que es equivalente a la necesidad de que se cierre.)

Esta más general, el programa de instalación permite "2-afín a la geometría algebraica"; por ejemplo, $\text{QCoh}(X)$ para $X$ un esquema de la pila, derivados de la pila, etc.) ahora es un ejemplo, y en algunas agradable casos cubiertos por Tannakian teoremas de esta incorporación de la geometría algebraica en "2-anillo de la teoría" es completamente fiel.

Nos acercamos a (Grothendieck) topoi por el mejoramiento de la monoidal simétrica" a "cartesiano monoidal." Si queremos actualizar "cartesiano monoidal" a "tiene todos los límites finitos" (y la actualización de los functors ser dejado exacta), llegamos a casi todo el camino hacia logoi (topoi y algebraicas morfismos), que en esta analogía son "(algunos) conmutativa $\text{Set}$-álgebras." Topoi y geométricas morfismos son los objetos geométricos correspondientes a estos conmutativa de anillo de objetos.

Ejemplo. Deje $G$ ser un grupo discreto y considerar los logotipos $\text{Set}^G$ de $G$-conjuntos. Algebraicas morfismos de $\text{Set}^G$ a un logos $L$ corresponden a $G$-torsors en $L$ (por Diaconescu del teorema), y, en consecuencia,"$\text{Spec } \text{Set}^G$" ($\text{Set}^G$ considerado como un topos) es un "2-afín" la versión de la pila de $BG$.

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No me queda claro si hay una convincente de que la generalización de campo aquí. Una definición de un campo es que es un anillo conmutativo con no trivial cocientes (efectivo epimorphisms a cabo); no sé lo suficiente acerca de la teoría de topos para saber si logoi tener una noción útil de cociente o epimorphism.

Una condición necesaria podría ser "tiene más de un punto," donde aquí está el punto geométrico de morfismos de / algebraica de morfismos a $\text{Set}$. Esto incluye a $\text{Set}$ (un avatar de $\mathbb{F}_1$?) y $\text{Set}^G$ para $G$ un grupo, pero excluye, por ejemplo, $\text{Sh}(X)$ para $X$ un espacio topológico con al menos dos puntos.

Me gusta Simon Henry propuesta de $\text{Set}$ es el único campo. Esto significaría que $\text{Set}$ no tiene no trivial "campo de extensiones." Ciertamente, parece no tener trivial "extensiones de Galois."

Answer 2

He jugado un poco con esta pregunta en el pasado, y yo no tengo nada en firme, pero aquí están algunas ideas:

• A mí me parece que las características y propiedades de los campos tienen mucho que ver con la Zariski de la topología. Por ejemplo, los campos pueden ser caracterizado por el hecho de que ellos no tienen trivial localizaciones (es decir, Zariski-abrir subconjuntos) o por el hecho de que ellos no tienen trivial cocientes (es decir, Zariski-cerrado subconjuntos).

• Esto supone un poco de un desafío, porque la forma más fácil de topología para ver un análogo de la topos lado de la analogía no es la topología de Zariski, sino más bien la etale topología. Por ejemplo, un etale geométrica de morfismos es bastante natural cosa a tener en cuenta, y (creo?) un muy buen analógica de un etale mapa en la geometría algebraica.

Sin embargo, se puede pensar sobre lo que es un análogo de la topología de Zariski en toposes podría ser.

• La mayoría de los straightfoward cosa a hacer sería tomar el análogo de un Zariski-conjunto abierto en $X$ a un abierto de incrustación $U \to X$. Creo que esta es la misma cosa como un abrir subtopos, correspondiente a un subobjeto de la terminal de objeto, es decir, un punto de la subobjeto clasificador. Así, podemos definir un campo a ser simplemente un topos tal que el subobjeto clasificador tiene solo dos puntos -- una de dos valores de topos.

Pero aquí es donde yo creo que es útil pensar en términos de $\infty$-toposes:

• Mike Shulman ha argumentado (ver la primera viñeta en el enlace) que se abren geométricas morfismos son sólo el 0 paso en una jerarquía de localmente $n$-conectado geométricas morfismos, y en la parte superior podemos encontrar localmente $\infty$-conectado geométricas morfismos. Del mismo modo, varios otros "denominado" tipos de geométrica morfismos son mejor vistos como acostado en una jerarquía de tipos de $\infty$-geométrico morfismos.

• De manera más relevante aquí, hay una natural hiearchy que interpola "abrir subtopos" y "etale topos". Es decir, para cada una de las $n$, podemos considerar toposes de la forma $\mathcal T / X$ donde $X$ es $n$-truncado; etale corresponde para el caso de $n = \infty$ , mientras que abra corresponde para el caso de $n = -1$. Así, para cada $n$, hay una correspondiente noción de "$n$-el campo" -- un topos $X$ sin trivial $n$truncada a objetos (donde "$\infty$-el campo" es análogo a un algebraicamente cerrado de campo, pero resulta que sólo se trata de la trivial topos).

De alguna manera, que no suena super-útil para mí. Probablemente arruiné alguna parte de la analogía.