El número de tuplas m conmutables es divisible por el orden del grupo: ¿Mejoras?

Question

El número de pares de elementos conmutables en el grupo finito G es igual al producto $k(G)*|G|$ (ver MO271757 ) donde $k(G)$ es el número de clases de conjugación. Por lo tanto, es divisible por $|G|$ (el número de elementos de $G$ ). Esta divisibilidad también se desprende de un teorema de L. Solomon, que se expone a continuación.

Pregunta 0: Parece que el número de desplazamientos $m$ -tuplas $c_m(G)$ también es divisible por $|G|$ para cualquier $m$ ¿es esto correcto? Parece que se desprende de un resultado citado en Klyachko, Mkrtchyan (detalles más abajo).

Pregunta 1: ¿La proporción $c_m(G)/|G|$ tienen alguna interpretación teórica de grupos para $m>2$ ? (Cuando $m=2$ es el número de clases de conjugación).

Si el grupo es abeliano, obviamente $c_m(G) = |G|^m$ por lo que es divisible por una potencia muy alta de $|G|$ .

Pregunta 2: ¿Existe alguna mejora posible para este tipo de divisibilidad por $|G|$ para nilpotentes o $p$ -¿Grupos?

Observación: Cualquier mejora no puede contradecir los análogos de la 5/8 encuadernado en general $m$ : $c_{m+1}(G) \leq \frac{3 \cdot 2^m - 1}{2^{2m+1}} |G|^{m+1}$ de Lescot (véase MO108392 ).

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Recordatorio Permítanme exponer los teoremas citados en Klyachko y Mkrtchyan 2012 (encontrado en MO98639 ), y aplicarlo a nuestra situación.

• Teorema de Solomon [1969]. En cualquier grupo, el número de soluciones de un sistema de ecuaciones sin coeficientes es divisible por el orden de este grupo si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas.

• Aplicación Considere la ecuación $xy=yx$ en un grupo--una ecuación, dos incógnitas--por lo que el número de soluciones debe ser divisible por el orden del grupo. Por lo tanto, el número de pares conmutativos es divisible por el orden del grupo.

Nótese que no podemos aplicar ese teorema para el número de triples conmutables, $m$ -tuplas, ya que el número de ecuaciones supera el número de incógnitas. Así que se necesita un refinamiento, y eso parece ser conocido:

• Teorema de Gordon, Rodríguez-Villegas arXiv:1105.6066 . En cualquier grupo, el número de soluciones de un sistema de ecuaciones libres de coeficientes es divisible por el orden de este grupo si el rango de la matriz compuesta por sumas de exponentes de $i$ th desconocido en $j$ es menor que el número de incógnitas.

(Así lo presenta Klyachko y Mkrtchyan 2012 No está claro (para mí) cómo extraer esta formulación del documento original).

• Aplicación Considere las ecuaciones que definen la conmutación $m$ -tuplas: $x_ix_jx_i^{-1}x_j^{-1} = 1$ . ¡La suma de los exponentes es CERO! Por tanto, el rango de la matriz es cero y, por tanto, el teorema asegura que el número de soluciones es divisible por el orden de $G$ .

Espero que esto sea correcto, y que un experto pueda confirmarlo.

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Motivación

Espero (ver MO271752 ) que debería haber una bonita función generadora, $$ \sum_{n\geq 0} \frac{|\mathrm { commuting~} m\mathrm{-tuples~ in~ GL}(n,F_q)|}{|GL(n,F_q)|} x^n = ??? $$

Esto es similar a lo conocido, $$ \sum_{n\geq 0} \frac{|\mathrm { commuting~} \mathrm{pairs~ in~ GL}(n,F_q)|}{|GL(n,F_q)|} x^n = \prod_{j\geq 1} \frac{1-x^j}{1-qx^j} $$

lo que implicaría resultados de divisibilidad al menos para $GL(n,F_q)$ (y algunos otros grupos también), así que es agradable tener apoyo para tal creencia. Acerca de otros grupos, sería muy interesante para mí saber especialmente sobre el grupo $UT(n,q)$ (matrices unitriangulares sobre un campo finito)--- por qué potencia de $q$ los números $c_m(G)$ son divisibles.

Answer 1

La respuesta a las preguntas 0 y 1 es sí. He aquí una generalización.

Reclamación: Dejemos que $\pi$ sea un grupo finitamente generado y $G$ sea un grupo finito. Entonces

$$\frac{|\text{Hom}(\pi \times \mathbb{Z}, G)|}{|G|}$$

es igual al número de clases de conjugación de homomorfismos $\pi \to G$ .

Obtenemos una respuesta a las preguntas 0 y 1 estableciendo $\pi = \mathbb{Z}^n$ : $\frac{c_{n+1}(G)}{|G|}$ es igual al número de clases de conjugación de homomorfismos $\mathbb{Z}^n \to G$ .

Se puede dar una prueba del tipo esta entrada del blog . La idea es considerar el grupo de mapeo $X = [B \pi, BG]$ de homomorfismos $\pi \to G$ , para luego tomar su "groupoide de bucle"

$$LX = [B \mathbb{Z}, X] \cong [B(\pi \times \mathbb{Z}), BG].$$

Es un cálculo fácil verificar que el cardinalidad del grupo de un groupoide de bucles $LX$ es igual al número de componentes conectados (clases de isomorfismo) de $X$ . Por otro lado, $LX$ es el groupoide cociente obtenido de la acción de conjugación de $G$ en $\text{Hom}(\pi \times \mathbb{Z}, G)$ y, por tanto, su cardinalidad de grupo es también la expresión anterior.

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Editar: Tal vez valga la pena señalar la siguiente conexión con la TQFT, que hace que la prueba anterior sea algo más natural que el simple uso del lema de Burnside. En resumen, en $n$ -dimensiones de la TQFT de Dijkgraaf-Witten (sin torsión) $Z_G$ con grupo gauge finito $G$ asigna a

• a cerrado $n$ -manifold $X$ el número $\frac{\text{Hom}(\pi_1(X), G)|}{|G|}$ (el "volumen" del "espacio de moduli" de $G$ -fondos en $X$ ), y a
• a cerrado $(n-1)$ -manifold $X$ el espacio vectorial de funciones sobre el conjunto de clases de isomorfismo de $G$ -fondos en $X$ .

Es una característica general de cualquier TQFT que si $X$ es $(n-1)$ -dentales, entonces

$$Z(X \times S^1) = \dim Z(X).$$

Aplicando esto a la teoría de Dijkgraaf-Witten se obtiene un caso especial del resultado anterior para $\pi = \pi_1(X)$ . En particular, el resultado original deseado sobre $\pi = \mathbb{Z}^n$ puede considerarse que proviene de la teoría de Dijkgraaf-Witten aplicada a los toros.

Answer 2

Como pidió @AlexanderChervov, estoy escribiendo los detalles del argumento elemental de la respuesta de Qiaochu como una wiki comunitaria. Primero hay que tener en cuenta que $\hom(\pi\times \mathbb Z, G)$ está en biyección con el conjunto $X$ de pares $(\varphi,g)$ donde $\varphi\in \hom(\pi,G)$ y $g\in G$ con $g\varphi g^{-1}=\varphi$ . Ver $\pi\times \mathbb Z$ como producto directo interno, la biyección toma $\psi\colon \pi\times \mathbb Z\to G$ a $(\psi|_\pi,\psi(1))$ y la inversa toma $(\varphi,g)$ a $\psi(x,k) = \varphi(x)g^k$ .

El grupo $G$ actúa sobre $\hom(\pi, G)$ por conjugación y las órbitas son las clases de conjugación de los homomorfismos. Podemos contar $|X|$ como $$|\hom(\pi\times \mathbb Z,G)|=|X|=\sum_{g\in G}|\{\varphi\in \hom(\pi,G)\mid g\varphi g^{-1}=\varphi\}=\sum_{g\in G}|\mathrm{Fix}(g)|$$ y así por el Lema del recuento de órbitas de Cauchy-Frobenius-Burnside , obtenemos que $$\frac{|\hom(\pi\times \mathbb Z,G)|}{|G|}$$ es el número de clases de conjugación de los homomorfismos $\pi\to G$ .

Answer 3

Como Alexander solicitó , estoy escribiendo algunos detalles de mi comentario.

Teorema de Gordon-Rodríguez-Villegas (la forma original, véase J.Álgebra 2012 o arXiv 2011 ). Si $\Gamma$ es un grupo finitamente generado y el índice de su subgrupo conmutador es infinito, entonces el número de homomorfismos $\Gamma\to G$ es divisible por $|G|$ para cualquier grupo $G$ .

Puede asumir o no que $G$ es finito. En este último caso, la divisibilidad es en el sentido de la aritmética cardinal (un cardinal infinito es divisible por todos los cardinales menores o iguales no nulos).

Teorema de Gordon-Rodríguez-Villegas (una "forma ecuacional", véase [KM2012] ). Supongamos que $$ \{w_1(x_1,\dots,x_n)=1,\ w_2(x_1,\dots,x_n)=1,\dots\} $$ es un sistema de ecuaciones sin coeficientes sobre un grupo $G$ es decir $w_i$ son elementos del grupo libre $F(x_1,\dots,x_n)$ (el número de ecuaciones puede ser infinito, pero el número de incógnitas es finito). Entonces el número de soluciones de este sistema es divisible por $|G|$ siempre que el rango de la matriz $A$ compuesto por las sumas de exponentes de $i$ th desconocido en $j$ es menor que el número de incógnitas.

Evidentemente, se trata de una afirmación equivalente, porque

• el número de homomorfismos $$ \Gamma=\langle x_1,\dots,x_n\ |\ w_1=1,\ w_2=1,\dots\rangle\to G $$ es igual al número de soluciones del sistema de ecuaciones $\{w_1(x_1,\dots,x_n)=1,\ w_2(x_1,\dots,x_n)=1,\dots\}$ en $G$ ;

• el índice del subgrupo conmutador de $\Gamma$ es infinito si y sólo si $\mbox{rank}\, A<n$ .

Por lo tanto, Alexander tiene razón - la matriz $A$ en su caso es cero.

La parte de divisibilidad en Reclamación de Qiaochu Yuan es un corolario inmediato de el Teorema de Gordon-Rodríguez-Villegas (ya que el subgrupo conmutador de $\mathbb Z\times (\mbox{something})$ es de índice infinito). En cuanto a la relación $$ \frac{|\{\Gamma\to G\}|}{|G|}=\frac{\mbox{the number of solutions to the system above}}{|G|}, $$ tiene una interpretación natural en el caso general, pero tal vez no se haya explicitado en ninguna parte. De todos modos, todo el mundo puede obtener dicha interpretación a partir de una demostración breve y bastante elemental de una generalización del teorema GRV que se puede encontrar en [esta autopublicidad] (que contiene también algunos otros corolarios de divisibilidad sorprendentes).

Answer 4

Otra estrategia es utilizar la inducción en $m,$ no hay nada que hacer si $m=1.$ Tenga en cuenta que $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m})$ es un conmutador $m$ -si y sólo si $(x_{2},\ldots,x_{m})$ es un conmutador $(m-1)$ -tupla de $C_{G}(x_{1}).$ Por inducción entonces, para cada elección de $x_{1},$ el número de terminaciones de $x_{1}$ a un desplazamiento $m$ -tupla con el primer componente $x_{1}$ es divisible por $|C_{G}(x_{1})|.$ Se deduce fácilmente que dada una clase de conjugación $C$ de $G,$ el número de desplazamientos $m$ -cuyas primeras componentes son elementos de $C$ es divisible por $|G|.$ Dado que las clases de conjugación se dividen $G,$ el número de desplazamientos $m$ -es efectivamente divisible por $|G|.$

Observe también que si $p$ es un primo que no divide $|G|$ , entonces el número de conmutaciones mutuas $p$ -tuplas de elementos de $G$ es congruente con $|G|$ (mod $p$ ), ya que la permutación cíclica de orden $p$ actos sobre dichos desplazamientos $p$ -tuplas con $|G|$ puntos fijos (el ordenado $p$ -tuplas con todos los componentes iguales).