Creo que hay algunos teoremas que son más fáciles de demostrar en el marco difeológico, o como tú dices: para los que la demostración revela más razones conceptuales. Por ejemplo este ?
Propuesta Sea $X$ sea un espacio difeológico conexo, sea $\omega$ sea una 2-forma cerrada en $X$ . Sea $P_\omega \subset {\bf R}$ sea su grupo de períodos. Si el grupo de períodos $P_\omega$ es (difeológicamente) discreto (es decir, es un subgrupo estricto de $\bf R$ ) entonces existe una familia de haces de fibras principales no equivalentes $\pi : Y \to X$ con grupo estructural el toro de períodos $T_\omega = {\rm R} / P_\omega$ equipado con una forma de conexión $\lambda$ de curvatura $\omega$ . Esta familia está indexada por el grupo de extensión ${\rm Ext}({\rm Ab}(\pi_1(X)), P_\omega)$ .
Este teorema es una generalización de la construcción clásica del paquete de precuantización de una integral simpléctica (o pre-simpléctica), es decir, aquellas para las que $P_\omega = a {\bf Z}$ . ¿Por qué es interesante esta generalización? He aquí algunos comentarios:
1) La única condición para la existencia de tales "estructuras de integración" es que el grupo de períodos sea difeológicamente discreto, lo cual queda oculto en la construcción clásica por alguna hipótesis técnica (contable en el infinito o enunciados análogos).
2) El espacio $Y$ es un cociente del espacio ${\rm Paths}(X)$ en el que la forma $\omega$ se eleva modulo la acción de un operador "Chain-Homotopy" (en realidad lo que se construye por cociente es un groupoide y el haz $Y$ no es más que el "semigrupoide"). Así, el espacio difeológico ${\rm Paths}(X)$ es una pieza maestra de esta construcción (pero casi en todas partes en difeología), y el hecho de que los espacios difeológicos soportan formas diferenciales (en particular ${\rm Paths}(X)$ ) con todas las herramientas del cálculo de Cartan es fundamental.
3) La generalidad de este teorema implica esencialmente "tori irracionales", ya que en general el cociente $T_\omega$ no es, por supuesto, un grupo de Lie.
El último punto ilustra por qué los tori irracionales son importantes en difeología: o aceptas estos objetos o renuncias a este (tipo de) teoremas . Observa que este teorema no existe en la categoría restringida de los espacios de Frölicher, ya que los toros irracionales son triviales. Puede que estés contento sólo con el caso integral, pero en mi opinión te pierdes mucho por no tomar toda la generalidad de la construcción, y poner vallas donde no existen.
Puedo dar algunos otros ejemplos en los que la difeología da un atajo para teoremas clásicos conocidos, y de paso extenderlos a objetos que no pertenecen a la categoría de los múltiples.
He aquí un ejemplo de un teorema más convencional: la invariancia homotópica de la cohomología de De Rham . Las formas diferenciales y la cohomología de De Rham son conceptos bien definidos en difeología, que se aplican en particular en espacios de trayectorias de espacios difeológicos, espacios de mapas suaves, cocientes, etc.
Utilizamos aquí el operador Cadena-Homotopía $$ K : \Omega^p(X) \to \Omega^{p-1}({\rm Paths}(X)) \quad \mbox{which satisfies} \quad K \circ d + d \circ K = \hat 1^* - \hat 0^*, $$ donde $\hat 1$ y $\hat 0$ son los mapas definidos a partir de ${\rm Paths}(X)$ a $X$ por $\hat 1(\gamma) = \gamma(1)$ y $\hat 0(\gamma) = \gamma(0)$ .
Propuesta Sea $X$ y $X'$ sean dos espacios difeológicos, sea $f_0$ y $f_1$ sean dos mapas suaves homotópicos de $X$ a $X'$ , dejemos que $\alpha$ sea una $p$ -formar en $X'$ . Los retrocesos $f_0^*(\alpha)$ y $f_1^*(\alpha)$ son cohomólogas.
Prueba Sea $\varphi : X \to {\rm Paths}(X')$ sea el mapa definido por $\varphi(x) = [t \mapsto f_t(x)]$ . El retroceso por $\varphi$ de la identidad $K(d\alpha) + d(K\alpha) = {\hat 1^*}(\alpha) - {\hat 0^*}(\alpha)$ da $d(\varphi^*(K\alpha)) = f_1^*(\alpha) - f_0^*(\alpha)$ . $\square$
Este es un ejemplo de simplificación/generalización de un teorema clásico acortando la demostración mediante difeología. Aquí también el espacio de caminos de un espacio difeológico, y el operador Cadena-Homotopía, son cruciales. Puede que detrás se esconda algo más fundamental. Enxin Wu, estudiante de Dan Christensen, está trabajando en un posible modelo de Quillen basado en la difeología, que tal vez arroje algo de luz sobre esta cuestión.
BTW Frölicher es equivalente a la subcategoría completa de lo que llamamos "espacios difeológicos reflexivos" (un trabajo en curso con Y. Karshon y otros), aquellos cuya difeología está completamente definida por los mapas lisos reales. Son la "intersección" de la categoría {Difeología} y la categoría {Sikorski}. Hay bonitos ejemplos y contraejemplos que ilustran la diferencia entre estas categorías.
