Centro de simplemente conectado a simple compacto de Lie del grupo y McKay correspondencia

Question

Deje $G$ ser simplemente conectado a simple compacto de Lie del grupo. Su centro $Z(G)$ es de un número finito de abelian grupo, decir $Z(G) = \mathbb Z/k\mathbb Z$ para $G=SU(k)$.

Me parece la siguiente interpretación de $Z(G)$ en términos de McKay correspondencia:

Deje $\Gamma$ ser un subgrupo finito de $SU(2)$. Deje $\{ \rho_i\}_{i\in I}$ ser el conjunto de (isomorfismo clases de) representaciones irreducibles de $\Gamma$. Deje $Q$ ser $2$-dimensiones de la representación de $\Gamma$ dado por la inclusión $\Gamma\subset SU(2)$. Considerar el producto tensor de descomposición $\rho_i\otimes Q = \bigoplus \rho_j^{\oplus a_{ij}}$. McKay correspondencia dice $2\delta_{ij} - a_{ij}$ es una afín a la matriz de Cartan de tipo de ADE.

Deje $J$ ser el subconjunto de $I$ consta de $1$-dimensiones de representaciones irreducibles. Consta de $i$ de manera tal que el coeficiente de $\alpha_i$ en el imaginario de la raíz de $\delta$ es $1$. (A veces son llamados especiales vértices.) Ponemos a $J$ un grupo abelian estructura por el producto tensor como representaciones de la $\Gamma$. A continuación, $J$ es isomorfo a $Z(G)$.

Esta observación puede ser revisado por caso-por-caso de análisis. Es fácil para el tipo de $A_{k-1}$. El grupo $\Gamma$ es $\mathbb Z/k\mathbb Z$, $J$ es el conjunto de la $I$, y es isomorfo a $\Gamma$ a sí mismo como un grupo. Para el tipo $D_n$, $J$ consta de $4$ extremal vértices. Uno necesita saber la doble representación de $\rho_j$ para $j\in J$ a fin de determinar el grupo de $J$. Es dado en Gozalez-Sprinberg Verdier papel, y la respuesta es: $J$ es $\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus \mathbb Z/2\mathbb Z$ o $\mathbb Z/4\mathbb Z$ según $n$ es par o impar. Esto coincide con el centro de la $Spin(2n)$. Casos excepcionales puede ser determinada de la misma manera.

Mis preguntas son

1. ¿Alguien encuentra esta observación antes ?

2. Hay una explicación conceptual de esta observación ? En particular, hay una prueba sin necesidad de caso-por-caso de verificación ?

Answer 1

Yo creo que el derecho de referencia es Borel-de Siebenthal.

Un finito-dimensional de la prueba es como sigue. El espacio de las clases conjugacy $G/\sim$ puede ser identificado con $T/W = (Lie(T)/\Lambda)/W = Lie(T)/(\Lambda \rtimes W) = Lie(T)/{\widehat W}$ donde $\Lambda = ker(\exp:Lie(T)\to T)$, y el final igualdad usa $G$ simplemente conectado. A continuación, este último espacio es el Weyl alcoba $\Delta$.

Es obvio que la acción de $Z(G)$ a $G/\sim$, y la acción correspondiente en $\Delta$ es por isometrías. En particular, toma las esquinas y rincones. Algunos de esos rincones están en la órbita de la identidad. Hasta el momento tenemos un inyección de $Z(G) \to$ {esquinas de $\Delta$}, que, por supuesto, a continuación, bijects a los vértices de los afín diagrama de Dynkin. Por último, hemos de averiguar la imagen.

Dado un punto de $t \in T$ situada en algún punto de $p$ relativo en el interior de una $k$-cara de $\Delta$, el centralizador $C_G(t)$ central que posee rango $k$, semisimple rango $rank(G)-k$. Si $p$ se encuentra en una esquina, a continuación, $C_G(t)$ es semisimple, y el barrio de $p$ en $\Delta$ es el Weyl cámara de $C_G(t)$. Así que la raíz de celosía de $C_G(t)$ es finito índice en el que de $G$, y este índice es el coeficiente de la correspondiente raíz simple en el afín de la raíz.

El centro es la asignación a los vértices para que $C_G(t) = G$, es decir, este coeficiente es, por tanto,$1$.

Answer 2

Dave Morrison me da la siguiente respuesta.

El centro de $Z(G)$ es conocido por ser isomorfo a $P/Q$ donde $P$ es el peso de celosía y $Q$ es la raíz de la celosía.

Por otro lado, vamos a $X$ ser la resolución mínima de $\mathbb C^2/\Gamma$. Este es el lugar donde McKay correspondencia se realiza mediante la geometría. La configuración de la excepcional conjunto es finito diagrama de Dynkin, lo $Q$ es $H_2(X,\mathbb Z)$ con la intersección de la matriz. El peso de celosía $P$ es isomorfo a $H^2(X,\mathbb Z)$ y la inclusión $Q\to P$ es realizado por la intersección de emparejamiento, en otras palabras, $Q\cong H^2_c(X,\mathbb Z)$ e $Q\to P$ es el natural homomorphism $H^2_c$ a $H^2$. Por lo tanto el cociente $P/Q$ es el cohomology de la `frontera' $H^2(S^3/\Gamma,\mathbb Z)$.

McKay la correspondencia de la González-Spinberg Verdier le da un homomorphism de la representación anillo de $R(\Gamma)$ a $P$ por la primera de las clases de Chern de tautológica paquetes. La primera clase de Chern se calcula mediante la conexión de homomorphism $H^1(S^3/\Gamma, U(1))\to H^2(S^3/\Gamma,\mathbb Z)$, que es un isomorfismo en nuestro caso. Por lo tanto $H^2(S^3/\Gamma,\mathbb Z)$ está dada por 1-dimensional personajes de $\Gamma$.

Answer 3

Esta no es la respuesta, pero podemos utilizar la teoría de la representación de afín álgebras de Lie en el nivel uno para obtener una muy similar de observación, que está escrito por ejemplo, di Francesco-Mathieu-Sénéchal.

1. Utilizando el teorema general, unitaria integrable representaciones en el nivel k está dada por los pesos $w>0$ tal que $w.\delta\le k$. En particular, en el nivel 1, el conjunto de unitario integrable representaciones, naturalmente, puede ser identificado con $J$. Un álgebra de estructura en $\mathbb{C} J$ se puede poner por la fusión de la regla. Resulta que se trata de una estructura de grupo en $J$.

2. En el nivel 1, usted puede utilizar el free-bosón de construcción; entonces es claro que el conjunto de unitario integrable representación está dada por $P/Q=Z$, y la fusión de la regla está dada por la estructura del grupo de $Z$.

Comparar 1. y 2., vemos a $Z=J$, incluyendo la estructura del grupo. Ahora la pregunta es relacionar los afín álgebra de las representaciones y la McKay correspondencia, pero estoy seguro de que Hiraku puede hacer eso por mí.