Esta pregunta es la continuación de este.
Deje $(X, \omega)$ ser un Hermitian colector y definir el Laplacians $\Delta_{\partial} = \partial\partial^* + \partial^*\partial$ e $\Delta_{\bar{\partial}} = \bar{\partial}\bar{\partial}^* + \bar{\partial}^*\bar{\partial}$.
Si $(X, \omega)$ es un Kähler colector, que es $d\omega = 0$ (o, equivalentemente, $\partial\omega = 0$ o $\bar{\partial}\omega = 0$), tenemos $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial}$.
Más en general, sobre cualquier Hermitian colector tenemos $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial} + [\partial, [\Lambda_{\partial\omega}, L]] - [\bar{\partial}, [\Lambda_{\bar{\partial}\omega}, L]]$ donde:
- $[\bullet, \bullet]$ es el gran colector;
- $\Lambda_{\partial\omega}$ e $\Lambda_{\bar{\partial}\omega}$ son los adjoints de acuñamiento con las formas $\partial\omega$ e $\bar{\partial}\omega$, respectivamente; y
- $L$ es el Lefschetz operador, es decir, acuñando con $\omega$.
Es claro cómo los términos adicionales relacionados con la Laplacians en el Hermitian caso de desaparecer si la métrica es Kähler ($\partial\omega = 0$ e $\bar{\partial}\omega = 0$, lo $\Lambda_{\partial\omega}$ e $\Lambda_{\bar{\partial}\omega}$ son ambos cero). Lo acerca a la inversa? Que es:
Si $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial}$ en un colector de Hermitian $(X, \omega)$, es necesariamente Kähler?
La aceptación de respuesta en los enlaces de la pregunta se refiere a la equilibrada de los colectores. Estos son los colectores con la propiedad de que $\Delta_{\bar{\partial}}f = \Delta_{\partial}f$ para cualquier liso función de $f$. No todos los colectores se Kähler. La pregunta anterior es más fuerte, como lo requiere la igualdad para todas las suaves formas.
