¿Cuáles son los productos de $\prod_{A\subset{\mathbb F}_p\colon |A|=n} \sum_{a\in A} \zeta^a$ igual?

Question

Este es un poco más explícito versión de una pregunta hace poco me preguntó.

Deje $p$ ser un extraño prime, y escribir $\zeta:=\exp(2\pi i/p)$ (cualquier otra primitiva $p$th raíz de la unidad va a hacer así). Para un entero $n\in[0,p]$, los productos $$ {\mathcal P}_p(n) := \prod_{\substack{A\subseteq{\mathbb F}_p \\ |A|=n}}\ \sum_{a\in A} \zeta^a $$ son racionales enteros; se pueden hallar "explícitamente"?

Es inmediato ver que ${\mathcal P}_p(0)=0$ e ${\mathcal P}_p(1)=1$, y puedo demostrar que ${\mathcal P}_p(2)=\left(\frac2p\right)$ (no es difícil ver que ${\mathcal P}_p(2)=\pm 1$, pero para determinar el signo es más complicado). También, tenemos ${\mathcal P}_p(p-n)=(-1)^{\binom{p}{n}}{\mathcal P}_p(n)$, por lo que ${\mathcal P}_p(p)=0$, ${\mathcal P}_p(p-1)=-1$, y ${\mathcal P}_p(p-2)=\pm 1$.

$\quad$ ¿Cuáles son los valores de ${\mathcal P}_p(n)$ para $n\in[3,p-3]$?

Algunos datos numéricos (gracias a Talmón de Plata para la programación):

$\quad {\mathcal P}_5(3)=-1$
$\quad {\mathcal P}_7(3)=-2^7$
$\quad {\mathcal P}_{11}(3)=23^{11}$
$\quad {\mathcal P}_{13}(3)=159^{13}$
$\quad {\mathcal P}_{17}(3)=-24617^{17}$
$\quad {\mathcal P}_{19}(3)=-611009^{19}$
$\quad {\mathcal P}_{23}(3)=1265401351^{23}$

$\quad$ Si la búsqueda de los valores individuales ${\mathcal P}_p(n)$ es difícil, podemos al menos explícitamente el producto $$ {\mathcal P}_p(1){\mathcal P}_p(2)\dotsb{\mathcal P}_p(p-2){\mathcal P}_p(p-1) = \prod_{\varnothing\na\subsetneq{\mathbb F}_p} \sum_{a\in A} \zeta^a \ ?$$

Lo que denota el producto por ${\mathcal P}_p$,

$\quad {\mathcal P}_3=-1$
$\quad {\mathcal P}_5=-1$
$\quad {\mathcal P}_7=-2^{14}$
$\quad {\mathcal P}_{11}=-(3\cdot 23^4 \cdot 67\cdot 89)^{22}$
$\quad {\mathcal P}_{13}=-(3^{12}\cdot 5\cdot 53^6 \cdot 79^4\cdot 131^2 \cdot 157^2 \cdot 313\cdot 547\cdot 599\cdot 911)^{26}$

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El problema puede ser reformulado en un puramente combinatoria manera, como se indicó en el Ofir del comentario de abajo. Escribir $N:=\binom pn$, vamos a $A_1,\dotsc,A_N$ ser $n$-elemento subconjuntos de ${\mathbb F}_p$, y para $z\in{\mathbb F}_p$ denotar por $r_n(z)$ el número de representaciones de $z=a_1+\dotsb+ a_N$ con $a_1\in A_1,\dotsc, a_N\in A_N$. Tenemos entonces ${\mathcal P}_p(n)=\sum_{z\in{\mathbb F}_p}r_n(z)\zeta^z$, y del hecho de que ${\mathcal P}_p(n)$ es un número entero, se deduce que el $r_n(z)$ realmente son iguales el uno al otro para todas las $z\in{\mathbb F}_p\setminus\{0\}$; como resultado, tenemos, digamos, ${\mathcal P}_p(n)=r_n(0)-r_n(1)$. Por otro lado, $$ r_n(0)+(p-1)r_n(1) = \sum_{z\in{\mathbb F}_p} r_n(z) = |A_1|\dotsb|A_N| = n^{\binom pn}. $$ Este rendimientos $$ {\mathcal P}_p(n) = \frac1{p-1} \left( p\,r_n(0)-n^{\binom pn}\right). $$ Por lo tanto, el problema se reduce a encontrar $r_n(0)$, el número de todos los de suma cero $N$-tuplas $(a_1,\dotsc,a_N)$ con los componentes de $a_i$ que representa cada una de las $n$-elemento subconjuntos de ${\mathbb F}_p$.

Answer 1

Sólo una respuesta parcial:

Puedo demostrar que ${\cal P}_p(3)=\epsilon_p v_p^p$, con $\varepsilon_p^2=1$, para cada entero $p\ge 3$ (no necesariamente prime). La prueba es demasiado técnico para presentar aquí. Los valores de $v_p$ están dadas por $$ v_p^6=\frac{9W_p}{(2^p-(-1)^p)^2(1-(-2)^p)}, $$ donde $$ W_p=\prod_\zeta\{(1+\zeta)^p-(-1)^p\}; $$ excepto por el signo de estos $W_p$ son los números de secuencia A096964 en OEIS (Wendt del determinante).

También se $W_p=\det(M+(1-(-1)^p) I)$ donde $M$ es el circulantes de la matriz con la primera línea de $\binom{p}{k}$ para $0\le k\le p-1$.

La secuencia de $\varepsilon_p$ parecen tener una simple estructura periódica, pero este no he probado.