Si omitimos más de dos puntos de la esfera de Riemann, vamos a obtener un hiperbólico superficie de Riemann dotado de una canónica métrica descendente de su cobertura universal que es el disco de Poincaré. Nos deja denotar la métrica hiperbólica en esta superficie por $d_h$, y el habitual esférica métrica en la esfera de Riemann por $d$. Aquí está mi pregunta: Podemos encontrar una constante $C>0$ tal que para cualquier par de puntos $x$ e $y$ en esta pinchado esfera tenemos: $$d(x,y)<C d_h(x,y).$$
Respuesta
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Sí. La densidad de la métrica de Poincaré con respecto a la forma esférica de la métrica es una positiva función continua que tiende a infinito en el pinchazos. Así está delimitada desde abajo por alguna constante positiva. La constante depende sólo de en la configuración de los pinchazos. Para algunas configuraciones especiales de los pinchazos, la exacta constante ha sido explícitamente encontrado:
MR1428102 Bonk, Mario; Cerezo, William, Límites sobre el esférico derivados de los mapas en regiones con simetrías. J. Anal. De matemáticas. 69 (1996), 249-274.
Los autores de este trabajo dicen que para el general de los pinchazos, la determinación explícita de el óptimo constante es desesperada, y estoy de acuerdo con ellos.
