Es cada grado 1 auto-mapa de un homotopy equivalencia?

Question

En un lugar oscuro artículo, he encontrado (sin prueba) la siguiente declaración:

Si $M$ es un cerrado orientable colector, cada grado $1$ mapa de $f: M \rightarrow M$ es un homotopy de equivalencia.

Es esto realmente cierto?

El uso de la dualidad de Poincaré, es fácil ver que $f$ es una homología de equivalencia. Pero ha $f$ a inducir un isomorfismo en $\pi_1$? Otro (tal vez relacionado con el resultado del teorema de Hopf: El grado clasifica los mapas de $M \rightarrow S^n$ hasta homotopy de equivalencia.

(Lo siento si esta pregunta es muy básica. Siéntase libre de borrar en este caso).

Answer 1

Creo que esta es una pregunta abierta en general, y la afirmación es una vieja conjetura de Hopf. Algunos casos especiales fueron consideradas por Jean-Claude Hausmann, Geométrico Hopfian y no Hopfian situaciones. Geometría y topología (Athens, Ga., 1985), 157-166, Notas de la Conferencia en el más Puro y Appl. Math., 105, Dekker, Nueva York, 1987. Yo no creo que haya sido un gran progreso desde entonces, al menos no que yo pudiera encontrar a través de Mathscinet o Google Scholar.

Es fácil ver que $f$ induce un surjection en $\pi_1$; si no, $f$ factores a través de un no-trivial de cubrir el espacio de $M$, contradiciendo el grado-$1$ asunción. Así que si $\pi_1$ es Hopfian (cualquier surjection de G a G es un isomorfismo), a continuación, se puede conseguir que la $f_*$ es un isomorfismo en $\pi_1$. Hay, sin embargo, algunos no Hopfian grupos. Incluso cuando sabes que $f_*$ es un isomorfismo, usted necesita más para mostrar a $f$ a ser un homotopy de equivalencia; se necesitaría $f$ a que induce la homología isomorphisms con coeficientes en $Z[\pi_1]$.