Explicando por qué podemos ' "encontrar" una primitiva de $f(t) = e^{t^2}$.

Question

No podemos encontrar $$ \int e^{t^2} \; dt $$ el uso de herramientas básicas de una clase de cálculo. Es decir, no podemos expresar una antiderivada de $f(t) = e^{t^2}$ el uso de las operaciones básicas. Por supuesto que acaba de definir $$ F(t) = \int_{a}^t e^{s^2}\; ds. $$

Estoy buscando una manera de explicar a un estudiante por qué no podemos expresar la antiderivada el uso de operaciones básicas (suma, resta, raíces, potencias, etc.). En particular, estoy interesado en obtener la respuesta a "¿por qué nosotros no podemos hacer eso". Yo sé que uno podría "sólo" lo demuestran, pero no es un simple argumento o algo que ilustra esto?

Answer 1

En primer lugar, no es que no podemos encontrar una antiderivada: podemos, de hecho: la función de $$F(t)=\int_0^t\exp(s^2)\,\mathrm d s$$ es una perfectamente buena antiderivada. Lo cierto es que usted no puede encontrar una expresión de una antiderivada como una función primaria (para algún significado específico de "función primaria")

Ahora, para probar esto, se necesita realizar precisa qué se entiende por escuela primaria y luego probarlo. La prueba no es algo que usted sería capaz de presentar a un aprendizaje de los alumnos de integración, tristemente. Supongo que hay varias maneras de hacerlo, pero el argumento estándar implica la teoría de la diferencial de campo de extensiones, como se explica en el libro de Andy Majid sobre el tema.

El argumento es que no unsimilar a la que muestra que no hay ninguna fórmula general para hallar las raíces de un polinomio -esto le da algo con que comparar.

Answer 2

No se puede probar fácilmente, pero usted puede dar un poco de intuición :

1. derivado de la $e^x$ $e^x$
2. Tratando de encontrar $f$ tal que $f'(x)=e^{x^2}$, podemos deducir que $f(x)=g(x)e^{h(x)}$
3. Por lo $f'(x)=(g'(x)+g(x)h'(x))e^{h(x)}=e^{x^2}$
4. Así queremos encontrar una solución que $h(x)=x^2$ $g'(x)+2xg(x)=1$

Nota: el último punto parece más fácil, pero si que lo intenten, no van a encontrar primaria de la función $g$ tal que $g(x)=\frac{1-g'(x)}{2x}$. Usted puede por lo menos muestran que esto no es una función polinómica, ni un cociente de polinomios función, ni una costumbre función trigonométrica.

Pero vamos a $g(x)=\sum a_ix^i$,$a_1=1$$(i+1).a_{i+1}+2a_{i-1}=0$, por lo que puede al menos dar alguna expresión a $g$ mediante la resolución de $a_i$ (usted puede suponer que $a_0=0$).