Hay una intuición geométrica para la integración por partes?

Question

Hay una intuición geométrica para la integración por partes?

$$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x)\,dx$$

Esto puede, por supuesto, se muestra de manera algebraica del producto de la regla, pero todavía donde se intuición geométrica? He visto la geometría de IBP mediante ecuaciones paramétricas pero no lo entiendo.

Más reciente edición: algunas preguntas similares se ha preguntado antes, pero el uso de ecuaciones paramétricas para mostrar la geometría detrás de IBP. Estoy interesado si hay intuición geométrica que utiliza funciones en el plano Cartesiano o algunos otros, tal vez más natural, explicación.

Answer 1

Nota. Editado porque Adayah señaló (correctamente, y a mi pesar) que esta respuesta fue totalmente descuidado-descuidado, incluso de lo que yo quería que fuese. Esperemos que ahora es mejor.

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Cuando usamos la integración por partes en una integral

$$ \int u(x) \, \mathrm{d}v(x) = \int u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x $$

nos implícitamente el tratamiento de $u$ e $v$ como paramétrica de funciones de $x$. Si trazamos la gráfica de estas funciones el uno contra el otro en el $u$-$v$ plano, podríamos obtener algo como la siguiente:

(Tenga en cuenta que $v$ está en el eje horizontal, y $u$ sobre la vertical.) En este diagrama, la púrpura de la región por debajo de la curva representa la integral definida

$$ \int_{v(x)=2}^3 u(x) \, \mathrm{d}v(x) = \int_{x=v^{-1}(2)}^{v^{-1}(3)} u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x $$

Del mismo modo, la zona azul a la izquierda de la curva representa la integral definida

$$ \int_{u(x)=1}^2 v(x) \, \mathrm{d}u(x) = \int_{x=u^{-1}(1)}^{u^{-1}(2)} v(x) u'(x) \, \mathrm{d}x $$

Tenga en cuenta que podemos establecer

• $x_1$ tal que $u(x_1) = 1$ e $v(x_1) = 2$
• $x_2$ tal que $u(x_2) = 2$ e $v(x_1) = 3$

y así podemos relacionar estas dos integrales por

$$ \int_{x=x_1}^{x_2} u(x) v'(x) \, \mathrm{d}x = \left. u(x) v(x) \fantasma\int\!\!\!\!\! \right]_{x=x_1}^{x_2} - \int_{x=x_1}^{x^2} v(x) u'(x) \, \mathrm{d}x $$

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Obviamente este simple visualización de integración por partes se basa (al menos en cierto grado) en $u(x)$ e $v(x)$ ser uno-a-uno; de lo contrario, tendremos que utilizar firmado áreas. Sin embargo, el necesario rigor puede ser añadido. Yo estoy haciendo la suposición de que el rigor no era lo que se necesitaba aquí. (ETA: a Pesar de ser más de lo que yo siempre en el primer lugar!)

Answer 2

A la luz de @Adayah observaciones, voy a ofrecer una diferente intuición geométrica para $fdg=d(fg)-gdf$, el cual se integra el resultado deseado. Considere el caso especial $f,\,g,\,df,\,dg>0$, por lo que se puede hacer una $f\times g$ rectángulo dentro de un $(f+df)\times (g+dg)$ rectángulo. Aparte de un insignificante $df\times dg$ pieza de la esquina, el recorte $d(fg)$ fuera de la ligeramente más pequeño rectángulo es de dos rectángulos de áreas $fdg,\,gdf$.