Metrization de la debilidad de la convergencia de firmado medidas

Question

Edit: Cambiado de "Hausdorff" a "métrica" de los espacios.

Deje $\mathcal{M}(\Omega)$ denotar el espacio de firmado regular medidas de Borel en un espacio métrico compacto $\Omega$. Por Riesz-Markov, este es el espacio dual de $C(\Omega)$, el espacio de todos los real continua de las funciones con valores en $\Omega$. Denotar por $$\mathcal{P}(\Omega) = \{\mu\in\mathcal{M}(\Omega)\ :\ \mu\geq 0, \mu(\Omega)=1\}$$ es decir, el conjunto de todas las medidas de probabilidad en $\mathcal{M}$.

La debilidad de la convergencia (también llamado débil* convergencia) en $\mathcal{M}(\Omega)$ está definido por la dualidad y se sabe que la debilidad de la convergencia en $\mathcal{P}(\Omega)$ puede ser metrizised, por ejemplo, la Prokhorov métrica $d_P$ o el Wasserstein métricas $d_W$.

Obviamente, tanto las métricas no metrizise la debilidad de la convergencia en $\mathcal{M}(\Omega)$: Para el Wasserstein métrica tenemos $d_W(\mu,\nu)=\infty$ si $\mu(\Omega)\neq\nu(\Omega)$, y para la Prokhorov métrica no tenemos $d_P(\mu,\mu)=0$, tal y como yo lo veo.

Google y la búsqueda de MSC no produjo ningún resultado en mi pregunta:

Hay métricas disponibles que metrizise la debilidad de la convergencia de firmado regular medidas de Borel?

Me sorprendería si no había (o hay alguna fundamentales obstrucciones?).

Yo también estaría encantado con métricas para la debilidad de la convergencia de la no-negativos de las medidas (pero no normativa) o por uniformemente acotada medidas y también me gustaría saber la respuesta a la misma pregunta para que el vector de valores de medidas de Radón en un espacio métrico.

2dn edit: Gracias por la gran respuesta. Se me había olvidado el procedimiento general para definir una métrica para los débiles(*) la convergencia en delimitada conjunto, pero de hecho, tenía una más "geométrica" de la métrica en la mente, algo en la dirección de R Lr y Dans respuestas.

Answer 1

Por supuesto, hay muchas maneras de metrizing la topología débil en $\mathcal M(\Omega)$ mediante el uso de diversas herramientas de análisis funcional. Sin embargo, como ya ha sido señalado por Dan, la forma más natural es utilizar el transporte métrica en el espacio de las medidas. [Es mucho más natural que el Prokhorov métrica. No quiero entrar en detalles históricos aquí - que se pueden encontrar fácilmente en otros lugares, pero insisto en que el transporte de métricas que realmente debe estar relacionado con los nombres de Kantorovich (en primer lugar) y su colaborador Rubinshtein]. Dan le da su doble definición en términos de funciones de Lipschitz, sin embargo su "transporte" definición " que en realidad es más apropiado aquí. Permítanme recordarles.

Dadas dos medidas de probabilidad $\mu_1,\mu_2$ a $\Omega$ $$ \overline d(\mu_1,\mu_2) = inf_M \int d(x_1,x_2) dM(x_1,x_2) \;, $$ donde $d$ es el original de la métrica en la $\Omega$, y el infimum (que en realidad es alcanzado) es tomado todas las medidas de probabilidad $M$ a $\Omega\times\Omega$ cuyo marginales ($\equiv$ coordinar las proyecciones) se $\mu_1$ e $\mu_2$. Uno debe pensar de medidas tales como "planes de transporte" entre las distribuciones $\mu_1$ e $\mu_2$, mientras que la integral en el lado derecho de la definición es el "costo" del plan de $M$.

Es obvio que la definición anterior tiene sentido no sólo para la probabilidad de medidas, pero para cualquiera de las dos medidas positivas $\mu_1,\mu_2$ con la misma masa. Por otra parte, $\overline d(\mu_1,\mu_2)$ realidad depende de la diferencia de $\mu_1-\mu_2$ solamente, de modo que uno puede pensar en ello como un "débil norma" $$ |||\mu_1-\mu_2||| = \overline d(\mu_1,\mu_2) $$ de la firma de medida $\mu_1-\mu_2$ (claramente, es homogéneo con respecto a la multiplicación por escalares).

Vamos ahora a $\mu=\mu_1-\mu_2$ ser arbitraria firmado medida, donde $\mu_1,\mu_2$ son los componentes de su Hahn descomposición. La única razón por la que la definición de los débiles norma no funciona en esta situación es que la medida de $\mu$ no necesita ser "equilibrado" en el sentido de que el total de las masas de $\|\mu_1\|$ e $\|\mu_2\|$ no tiene que ser la misma. Sin embargo, esto puede ser fácilmente reparado en la siguiente forma: ampliar el espacio original $\Omega$ a un nuevo espacio métrico $\Omega'$ mediante la adición de un "punto ideal" $o$ y poner $d(\omega,o)=1$ cualquier $\omega\in\Omega$. A continuación, la medida $$ \mu=\mu - (\|\mu_1\|-\|\mu_2\|)\delta_o \;, $$ donde $\delta_o$ es la unidad de masa en el punto de $o$, ahora es equilibrada, por lo que el $|||\mu'|||$ está bien definido. Por lo tanto, se puede ampliar la definición de los débiles norma $|||\cdot|||$ arbitrarias firmado medidas de $\mu$ poniendo $$ |||\mu|||=|||\mu'||| \;. $$

Ahora es fácil ver que la distancia $|||\mu_1-\mu_2|||$ donde $\mu_1,\mu_2$ son dos arbitraria firmado medidas, metrizes la topología débil en $\mathcal M(\Omega)$.

Answer 2

Si $X$ es un infinito dimensional de Banach separable espacio (como $C^0(\Omega)$, para un espacio métrico compacto $\Omega$ ), y $\{y _ j \} _ {j\ge 1}$ es un denso secuencia en su unidad, bola, se considera la norma en $X^*$ definido por $$ ||| u |||:=\sum _ {j=1} ^\infty 2 ^ {-j} |\langle u, y _ j \rangle |\, ,$$ which is weaker than the dual norm $\| \cdot \|$, since $ |||u|||\le \| u\|$. On the space $ X ^ * $, the $|||\cdot|||$ norm topology and the $w^*$ topología son diferentes, porque el último no es metrizable. Sin embargo, inducen la misma topología en cualquier (dual norma) subconjunto acotado.

rmk. Si $Y$ denota la densa lineal subespacio generado por $\{y _ j \} _ {j\ge 1}$ también podemos considerar la topología débil $\sigma(X ^ *,Y)$ a $ X ^ * $: es decir, el más pequeño de los TELEVISORES de la topología que se hace continua la evaluación del mapa en los puntos de $y\in Y$, que es $ X ^ * \ni u\mapsto \langle u, y\rangle $. Con esta topología, $X ^ * $ es localmente convexo, Hausdorff y la primera contables espacio, aunque metrizable, sin embargo, no normable como no localmente acotada. Así que esto es estrictamente más débil que la anterior $|||\cdot|||$ norma-topología; también es estrictamente más débil de los débiles $^*$ topología $\sigma(X ^ *,X)$, desde su doble espacios son las evaluaciones en los puntos de $Y$, respectivamente, de la $X$. De nuevo, en $\|\cdot\|$acotado de subconjuntos de a que inducen la misma topología: en efecto, si $u_n\to u$ en $\sigma(X ^ *,Y)$ con $\|u_n\|\le R$,, a continuación, $ ||| u - u _ n |||=\sum _ {j=1} ^\infty 2 ^ {-j} |\langle u - u_n , y _ j \rangle |$ también converge a $0$, ya que los términos de la serie converge a $0$, mientras dominado por la serie de $ \sum _ {j=1} ^\infty 2 ^ {-j} (2R) $. Por otra parte, también es cierto que $u_n\to u$ en $\sigma(X ^ *,X)$, debido a que para cualquier $x\in X$ y $y\in Y$ $|\langle u - u_n , x \rangle |\le |\langle u - u_n , y \rangle | + 2R\| x - y \|$, de dónde $\limsup _ { n \to \infty} |\langle u - u _ n , x \rangle | \le 2R\| x - y \| $, y el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Answer 3

En el caso de que $\Omega$ es un espacio métrico, el Kantorovich-Rubinstein norma (o el equivalente Delimitada de Lipschitz de la norma) va a satisfacer algunas de sus necesidades. Se metrize la debilidad de la convergencia para no negativo de las medidas, pero no se firmó medidas. Tiene la ventaja, sin embargo, de ser particularmente agradable para trabajar. Se define por

$\|\mu\| := \sup\left\{\int f \,d\mu : f \in Lip_1(\Omega), \ \sup_{\omega}|f(\omega)| \le 1\right\}$,

donde $Lip_1(\Omega)$ es el conjunto de 1-Lipschitz funciones de $\Omega$ a $\mathbb{R}$. Esto define una norma en $\mathcal{M}(\Omega)$, y la métrica $d(\mu,\nu) := \|\mu - \nu\|$ metrizes la debilidad de la convergencia en el espacio $\mathcal{M}^+(\Omega)$ al $\Omega$ es separable. Por Kantorovich dualidad, $d$ coincide con un Wasserstein métrica (generado por la métrica de $\Omega$ tapado por 1) sobre la probabilidad de medidas. Al $\Omega$ no es separable de la misma es verdadera si se restringen a $\tau$-aditivo medidas. Ver Bogachev, la Teoría de la Medida, vol 2, Teorema de 8.3.2. Creo que Dudley libro también trata de esto.

Answer 4

La débil* dual de un infinito-dimensional espacio de Banach nunca es metrizable (es decir, no existe una métrica -- no necesariamente traducción invariante induciendo a los débiles* la topología). De hecho, de lo contrario el $0$-barrio filtro de la débil* topología tendría una contables de la base y por lo tanto sería un metrizable localmente convexo del espacio. El teorema de Banach-Steinhaus (o el barrelledness del espacio de Banach) y Alaoglu, a continuación, implica que los conjuntos acotados de este metrizable localmente convexo topología se completa y, por lo tanto, la débil* dual sería un Frechet espacio. El cerrado gráfico teorema implica que el débil* topología es la misma que la inducida por la doble norma que no es cierto porque cada débiles* barrio de $0$ contiene un co-finito-dimensional en el subespacio.

Answer 5

Si usted necesita una referencia, no es un papel que cubre su pregunta.

Varadarajan (1958): Si $\Omega$ es un espacio métrico separable, entonces la topología de la debilidad de la convergencia en $\mathcal{M}(\Omega)$ es metrizable si y sólo si la debilidad de la convergencia y la norma topologías en $\mathcal{M}(\Omega)$ coinciden.

Esta condición es, obviamente, violados si $\Omega$ es la unidad de intervalo (o cualquier otro innumerables separable espacio métrico).

El mismo documento también muestra que la debilidad de la convergencia de la topología en el subconjunto $\mathcal{M}^+(\Omega)$ de las medidas positivas que es metrizable.