Cohomología algebraica de Rham frente a cohomología analítica de Rham

Question

Dejemos que $X$ ser una buena variedad sobre $\mathbb{C}$ donde "bonito" probablemente significa "suave" y "correcto".

Quiero saber: ¿Cómo podemos demostrar que la hipercohomología del complejo algebraico de Rham coincide con la hipercohomología del complejo analítico de Rham (equivalentemente la cohomología de la gavilla constante $\mathbb{C}$ en la topología analítica)? ¿Se deduce esto inmediatamente de GAGA? Si no es así, ¿cómo se demuestra?

Creo que esto no se deduce inmediatamente de GAGA porque, aunque las gavillas $\Omega_X^i$ son coherentes, la de Rham $d$ no es un mapa de gavillas coherentes (no es multiplicativo). ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Si $X$ es suave y adecuada, GAGA es de hecho suficiente (a pesar de la observación de que $d$ no es $\mathcal{O}_X$ -lineal: Se obtiene un mapa de comparación de secuencias espectrales de hipercohomología; es un isomorfismo en la $E_2$ página de GAGA, y por lo tanto en la $E_\infty$ página.

Se trata de demostrar el caso general (es decir, $X$ suave pero no necesariamente adecuado) que uno necesita para hacer un trabajo adicional.

Answer 2

No creo que puedas conseguir esto directamente de GAGA. La referencia que conozco para este resultado es Grothendieck, Sobre la cohomología de Rham de variedades algebraicas . Es corto, bonito y en inglés.

Answer 3

Varias personas han respondido a la pregunta, y también han señalado algunas de las sutilezas en la aplicación de GAGA. Así que no voy a repetir todo eso. Así que permítanme sugerir la referencia adicional:

Deligne, Ecuaciones diferenciales con puntos singulares regulares

especialmente el capítulo II, sección 6. Estas cuestiones se tratan cuidadosamente en un entorno más general de la cohomología de Rham con coeficientes en una conexión regular integrable. El resultado es sin duda cierto para un módulo D regular holonómico, y sería bueno que alguien lo escribiera con cuidado. Pero quizás me estoy desviando demasiado del tema original.

Answer 4

Esto se deduce de GAGA a través de las secuencias espectrales asociadas a las filtraciones mudas sobre los complejos algebraicos y analíticos de Rham de las láminas, véase la p. 96 de tomo 29 de PMIHES en un artículo de Grothendieck (1966).