Aquí es un local Noetherian separados contraejemplo. Yo también le doy un poco de motivación para esta construcción, después.
Definición. Deje $Z$ ser una cadena infinita de afín a las líneas: $Z = Z_1 \amalg_{p_1} Z_2 \amalg_{p_2} \ldots$, donde $Z_i \cong \mathbf A^1_{\mathbf C}$ e $p_i$ es el punto de $1$ en $Z_i$ y el punto de $0$ en $Z_{i+1}$. Deje $Y = \mathbf P^2_Z$, lo cual es claramente proyectivos más de $Z$. Escribir $Y_i = Z_i \times_Z Y$ para el componente irreducible de $Y$ sobre $Z_i$, con el mapa de la estructura $g_i \colon \mathbf A^1 \times \mathbf P^2 \cong Y_i \to Z_i \cong \mathbf A^1$.
Por último, vamos a $X$ obtenerse por la voladura $Y_i$ a $i$ puntos colineales $W_i \subseteq \mathbf A^1 \times \mathbf P^2$ en la fibra, $g_i^{-1}(2)$ para todos los $i$ (la única cosa que importa es que se elija un punto de $2$ que no es uno de los que peguen los puntos de $0$ e $1$). A continuación, $f \colon X \to Y$ es proyectiva, porque $X \subseteq \mathbf P(\mathcal I_W)$ es un cerrado de inmersión, donde $W = \bigcup_i W_i \subseteq Y$ es la subvariedad cerrada estamos volando y $\mathcal I_W$ su ideal gavilla (que es finito tipo, ya que es una condición local).
La notación. Escribir $h = g \circ f \colon X \to Z$, y una vez más, escribir $X_i = Z_i \times_Z X$ para el componente irreducible de $X$ sobre $Z_i$. Indicar los mapas $X_i \to Y_i$ e $X_i \to Z_i$ por $g_i$ e $h_i$ respectivamente.
La proposición. El mapa de $X \to Z$ no es proyectiva.
Vamos a demostrar que no existe ninguna $h$-amplia línea de paquete en la $X$ mediante el cálculo de todos los paquetes en $X$. Tenga en cuenta que para cualquier abierto $U \subseteq Z_i \cong \mathbf A^1$, tenemos $\operatorname{Pic}(U \times \mathbf P^2) \cong \operatorname{Pic}(\mathbf P^2)$ por el retroceso.
Lema. La proyección de $\pi \colon Y = X \times \mathbf P^2 \to \mathbf P^2$ induce un isomorfismo
$$\pi^* \colon \operatorname{Pic}(\mathbf P^2) \stackrel\sim\to \operatorname{Pic}(Y).$$
Prueba. De hecho, $\pi^*$ es inyectiva ya que $\pi$ tiene una sección. Cada $\mathscr L$ a $Y$ restringe a algunos $\mathcal O_{Y_i}(n_i)$ en cada una de las $Y_i$, que tiene que ser el mismo $n_i = n$ para todos los $i$ mediante la restricción de a $Y_i \cap Y_{i+1} = p_i \times \mathbf P^2$. Podemos elegir las identificaciones $\mathscr L|_{Y_i} \cong \mathcal O_{Y_i}(n)$ compatible para todos los $i$ comenzando con $i = 1$ y en movimiento a través de la cadena. En cualquier etapa que podría tener que modificar el elegido de identificación en $Y_{i+1}$ por un elemento de $\operatorname{Aut}(\mathscr L|_{p_i \times \mathbf P^2}) = \mathbf C^\times$, que es inofensivo porque no hay bucles. $\square$
Por el mismo razonamiento, cualquier línea de paquete en la $X$ se retiró $\mathbf P^2$ , lejos de la $\bigcup_i h_i^{-1}(2)$, por lo que es suficiente para línea de pegamento bultos en el abierto que cubre consiste en el locus $W = X \setminus \bigcup_i h_i^{-1}(2)$ donde $f \colon X \to Y$ es un isomorfismo, y la abre
$$W_i = X_i \setminus h_i^{-1}\Big(\{p_{i-1},p_i\}\Big)\cong \operatorname{Bl}_{W_i} \bigg(\left(\mathbf A^1 \setminus \{0,1\} \right) \times \mathbf P^2\bigg)$$
consta de $X_i$ menos sus intersecciones con $X_{i-1}$ e $X_{i+1}$.
Corolario. Tenemos
$$\operatorname{Pic}(X) \cong \operatorname{Pic}(\mathbf P^2) \times \prod_{i=1}^{\infty} \prod_{r = 1}^i \mathbf Z E_{i,r}.$$
Prueba. Tenemos $\operatorname{Pic}(W_i) \cong \operatorname{Pic}(\mathbf P^2) \times \prod_{r = 1}^i \mathbf Z E_{i,r}$ donde la $E_{i,r}$ son los divisores excepcionales por encima de la $i$ puntos de $W_i$. El resultado ahora, a partir de la descripción anterior por encolado en $W$ e las $W_i$, ya que no hay compatibilidad de condición entre los coeficientes en $E_{i,r}$ e $E_{i',r'}$ si $i \neq i'$. $\square$
La prueba de la Proposición. Ahora supongamos $\mathscr L = (n,n_{i,r}) \in \operatorname{Pic}(X)$ es $h$-amplio. En particular esto implica que $\mathscr L|_{h^{-1}(z)}$ es más que suficiente para cada una de las $z \in Z$. Aplicar esto a $z = 2 \in Z_i$ conseguir $nH + \sum_{r = 1}^i n_{i,r}E_{i,r}$ amplio en $h_i^{-1}(2)$. Pero la fibra, $h_i^{-1}(2)$ contiene el estricto transformar $\operatorname{Bl}_{W_i}(\mathbf P^2)$ de la fibra, $g_i^{-1}(2) \cong \mathbf P^2$ como una subvariedad cerrada, y la restricción de $E_{i,r}$ a $\operatorname{Bl}_{W_i}(\mathbf P^2)$ es el $r^{\text{th}}$ divisor excepcional $E_r$ de $\operatorname{Bl}_{W_i}(\mathbf P^2) \to \mathbf P^2$.
Por lo $nH + \sum_{r = 1}^i n_{i,r}E_r$ tiene que ser amplio en $\operatorname{Bl}_{W_i}(\mathbf P^2)$. Desde $E_r \cdot E_{r'} = -\delta_{r,r'}$ e $E_r \cdot H = 0$, debemos tener $n_{i,r} < 0$. Si $\ell$ es la estricta transformación de la línea a través de $W_i$ (que son colineales por supuesto), a continuación, $\ell \cdot E_r = 1$ e $\ell \cdot H = 1$. Por lo tanto, $(nH + \sum n_{i,r}E_r)\cdot \ell > 0$ fuerzas de $n > -\sum n_{i,r} \geq i$. Desde $i$ es arbitrario, esto es imposible. $\square$
Motivación. La idea detrás de la construcción es como sigue. Como he comentado anteriormente, si $Z$ es afín, $\mathscr L$ es $f$-amplio $X$ e $\mathscr M$ es $g$-amplio $Y$, hay algunos $a$ tal que $\mathscr L \otimes f^* \mathscr M^{\otimes a}$ es $(g \circ f)$-amplio por Etiqueta 0C4K. Para $Z$ cuasi-compacto, puede elegir esta $a$ uniformemente a lo largo de todos los cuñados, pero en general usted puede ser que necesite una más grande y más grande $a$.
La primera cosa que se intenta es $Z$ un infinito discontinuo de la unión de puntos, donde se necesita un mayor y más grande $a$ sobre cada componente (por ejemplo, al volar más y más puntos colineales en $\mathbf P^2$). Pero esto no funciona porque en un discontinuo de la unión tiene demasiada libertad para escoger una completamente diferente de la línea de paquete en la $X$ que hace el trabajo ("usted puede elegir un $a_i$ por componente").
Sin embargo, si usted se pone en una situación en la que
- usted puede calcular el $\operatorname{Pic}(X)$, y
- hay una razón por la que todas las $a_i$ tiene que ser la misma para cualquier línea de paquete en la $X$,
entonces usted puede hacer esto en un argumento que conduce a una contradicción.
