Demostrar que la expresión es un entero

Question

Experimentos numéricos sugieren que $\binom{2m}{m + k}\cdot\frac{3m - 1 - 2k^2}{2m - 1}$ es entero para todos los $-m \le k\le +m$. Esto significa que la evaluación de la expresión podría ser implementado de manera muy eficiente, sólo mediante entero de la adición y la multiplicación.

Sin embargo, he fallado a derivar computacionalmente eficiente de expresión hasta el momento. Las dos ideas que tengo son combinación lineal de binomios, y la recursividad, pero la penetración es necesario ir más allá.

Answer 1

Es igual $$ \binom{2m}{m+k}\frac{3m-1-2k^2}{2m-1}=-(m-1)\binom{2m}{m+k}+4m\binom{2m-2}{m+k-1}. $$ Tengo expandiendo $3m-1-2k^2=2(m^2-k^2)-(2m^2-3m+1)=2(m-k)(m+k)-(2m-1)(m-1)$.