No se ha dicho todo lo que vale la pena decir sobre esta cuestión -- en como mínimo, alguien podría haber escrito la versión sin los valores absolutos; pero lo más importante es que hay varias otras pruebas igualmente buenas.
Anotaciones y declaración
Permítanme primero exponer el resultado con los signos adecuados y sin valores absolutos.
Supuestos permanentes. A lo largo de este artículo se utilizarán las siguientes anotaciones:
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Dejemos que $\mathbb{K}$ sea un anillo conmutativo. Todas las matrices que aparecen en siguiente son matrices sobre $\mathbb{K}$ .
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Dejemos que $\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,\ldots\right\} $ .
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Por cada $n\in\mathbb{N}$ dejamos que $\left[ n\right] $ denota el conjunto $\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} $ .
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Arreglar $n\in\mathbb{N}$ .
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Dejemos que $S_n$ denotan el $n$ -grupo simétrico (es decir, el grupo de permutaciones de $\left[ n\right] $ ).
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Si $A\in\mathbb{K}^{n\times m}$ es un $n\times m$ -matriz, si $I$ es un subconjunto de $\left[ n \right]$ y si $J$ es un subconjunto de $\left[ m \right]$ , entonces $A_J^I$ es el $\left| I\right| \times\left| J\right| $ -matriz definida como sigue: Escribe $A$ en la forma $A=\left( a_{i,j}\right) _{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m}$ ; escribir el conjunto $I$ en la forma $I = \left\{ i_1 < i_2 < \cdots < i_u \right\}$ ; escribir el conjunto $J$ en la forma $J = \left\{ j_1 < j_2 < \cdots < j_v \right\}$ . A continuación, establezca $A_J^I = \left( a_{i_x, j_y} \right) _{1\leq x\leq u,\ 1\leq y\leq v}$ . (Así, a grandes rasgos, $A_J^I$ es el $\left| I\right| \times\left| J\right| $ -obtenida a partir de $A$ por eliminando todas las filas cuyos índices no pertenezcan a $I$ y eliminando todas las columnas cuyos índices no pertenecen a $J$ .)
Si $K$ es un subconjunto de $\left[ n\right] $ Entonces:
Ahora bien, afirmamos lo siguiente:
Teorema 1 (fórmula menor complementaria de Jacobi). Dejemos que $A\in\mathbb{K} ^{n\times n}$ sea un invertible $n\times n$ -matriz. Sea $I$ y $J$ sean dos subconjuntos de $\left[ n\right] $ tal que $\left| I\right| =\left| J\right| $ . Entonces, \begin{align} \det\left( A_{J}^{I}\right) =\left( -1\right) ^{\sum I+\sum J}\det A\cdot\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J} }\right) . \end{align}
Tres referencias
Aquí hay tres referencias a las pruebas del Teorema 1:
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El teorema 1 es el lema A.1 (e) en Sergio Caracciolo, Alan D. Sokal, Andrea Sportiello, Pruebas algebraicas/combinatorias de las identidades de tipo Cayley para derivadas de determinantes y pfaffianos , arXiv:1105.6270v2 (publicado en: Advances in Applied Mathematics 50, 474--594 (2013)) . En el párrafo que sigue al Teorema A.16, se da una demostración utilizando lo que los autores llaman "integración de Grassmann-Berezin" (a pesar de su nombre, un simulacro de cálculo puramente algebraico algebraico sobre el álgebra exterior de un espacio vectorial. exterior de un espacio vectorial).
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El teorema 1 es (1) en Pierre Lalonde, Una versión no conmutativa de la sobre los cofactores de una matriz , Discrete Mathematics 158 (1996), pp. 161--172 . El objetivo de este trabajo es generalizarlo a un sistema (ligeramente) no conmutativo.
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El teorema 1 es el ejercicio 6.56 de mi Notas sobre la combinatoria fundamentos del álgebra , versión del 10 de enero de 2019 . La primera prueba que doy es bastante clásica y similar a las dadas por Federico Poloni y Denis Serre, pero no requiere supuestos de WLOG (en lugar de usar el complemento de Schur de Schur, utilizo una generalización barata de la misma que es el Ejercicio 6.38 en las notas). La contabilidad formal que lleva al signo $\left( -1\right) ^{\sum I+\sum J}$ ocupa mucho espacio, aunque es muy fácil convencerte de ello con un poco de palabrería que puede que no te des cuenta de que que no requiere ninguna prueba. La segunda prueba es una ampliación de un argumento brevemente esbozado en D. Laksov, A. Lascoux, P. Pragacz y A. Thorup, Las notas del LLPT , versión antigua (2001) (Capítulo SCHUR, prueba de (1.9)).
Tenga en cuenta que cada fuente utiliza diferentes notaciones. Lo que yo llamo $A_J^I$ arriba se llama $A_{IJ}$ en el documento de Caracciolo, Sokal y Sportiello es llamado $A\left[ I,J\right] $ en El documento de Lalonde y se llama $\operatorname*{sub}\nolimits_{w\left( I\right) }^{w\left( J\right) }A$ en mis notas . Además, el $I$ y $J$ en el documento de Caracciolo, Sokal y Sportiello corresponden a la $\widetilde{I}$ y $\widetilde{J}$ en Teorema 1 anterior.
Una cuarta prueba
Permítanme ahora dar una cuarta prueba, utilizando el álgebra exterior. La prueba probablemente no es probablemente no sea nueva (el método definitivamente no lo es), pero la encuentro instructiva.
Esta prueba sería mucho más corta si no me importaran los signos y sólo probaría la afirmación más débil de que $\det\left( A_J^I \right) = \pm \det A\cdot \det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J} }\right) $ para algún valor de $\pm$ . Pero esta afirmación más débil no es tan útil como Teorema 1 en su versión completa (en particular, no bastaría para llenar el vacío en el libro de Macdonald que ha motivado esta pregunta).
La permutación $w\left( K\right) $
Introduzcamos primero algunas notaciones más:
Si $K$ es un subconjunto de $\left[ n\right] $ y si $k = \left|K\right|$ , entonces dejamos que $w\left( K\right) $ sea la permutación (única) $\sigma\in S_n$ cuya primera $k$ valores $\sigma\left( 1\right) ,\sigma\left( 2\right) ,\ldots,\sigma\left( k\right) $ son los elementos de $K$ en orden creciente, y cuyo siguiente $n-k$ valores $\sigma\left( k+1\right) ,\sigma\left( k+2\right) ,\ldots ,\sigma\left( n\right) $ son los elementos de $\widetilde{K}$ en orden creciente.
La primera propiedad importante de $w\left( K\right) $ es el siguiente hecho:
Lema 2. Dejemos que $K$ sea un subconjunto de $\left[ n\right] $ . Entonces, $\left( -1\right) ^{w\left( K\right) }=\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }$ .
No es necesario demostrar el Lemma 2 si sólo te interesa el más débil versión del Teorema 1 con el $\pm$ signo.
Prueba del lema 2. Dejemos que $k=\left| K\right| $ . Sea $a_{1},a_{2} ,\ldots,a_{k}$ sea el $k$ elementos de $K$ en orden creciente (sin repeticiones). Sea $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n-k}$ sea el $n-k$ elementos de $\widetilde{K}$ en orden creciente (sin repeticiones). Sea $\gamma =w\left( K\right) $ . Entonces, la definición de $w\left( K\right) $ muestra que la primera $k$ valores $\gamma\left( 1\right) ,\gamma\left( 2\right) ,\ldots,\gamma\left( k\right) $ de $\gamma$ son los elementos de $K$ en orden creciente (es decir, $a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}$ ), y el siguiente $n-k$ valores $\gamma\left( k+1\right) ,\gamma\left( k+2\right) ,\ldots ,\gamma\left( n\right) $ de $\gamma$ son los elementos de $\widetilde{K}$ en orden creciente (es decir, $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n-k}$ ). En otras palabras, \begin{align} \left( \gamma\left( 1\right) ,\gamma\left( 2\right) ,\ldots ,\gamma\left( n\right) \right) =\left( a_{1},a_{2},\ldots,a_{k} ,b_{1},b_{2},\ldots,b_{n-k}\right) . \end{align}
Ahora, puede obtener la lista $\left( \gamma\left( 1\right) ,\gamma\left( 2\right) ,\ldots,\gamma\left( n\right) \right) $ de la lista $\left( 1,2,\ldots,n\right) $ cambiando sucesivamente las entradas adyacentes, de la siguiente manera:
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Primero, mueve el elemento $a_{1}$ al frente de la lista, por medio de sucesivas cambiándolo con cada uno de los $a_{1}-1$ entradas más pequeñas que ella.
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A continuación, mueva el elemento $a_{2}$ a la segunda posición, por sucesivamente con cada uno de los botones $a_{2}-2$ entradas (que no sean $a_{1}$ ) más pequeño que ella.
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A continuación, mueva el elemento $a_{3}$ a la tercera posición, por sucesivamente con cada una de las $a_{3}-3$ entradas (que no sean $a_{1}$ y $a_{2}$ ) más pequeño que él.
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Y así sucesivamente, hasta que finalmente mueves el elemento $a_{k}$ a la $k$ - en la cuarta posición.
Más formalmente, se está iterando sobre todos los $i\in\left\{ 1,2,\ldots,k\right\} $ (en orden creciente), desplazando cada vez el elemento $a_{i}$ a la $i$ -th posición en la lista, cambiándola sucesivamente con cada una de las $a_{i}-i$ entradas (que no sean $a_{1},a_{2},\ldots,a_{i-1}$ ) más pequeño que él.
Al final, el primer $k$ posiciones de la lista se llenan con $a_{1} ,a_{2},\ldots,a_{k}$ (en este orden), mientras que el resto $n-k$ posiciones se llenan con las entradas restantes $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n-k}$ (de nuevo, en este orden, porque los interruptores nunca han interrumpido su orden relativo estrictamente creciente). Así, al final, su lista es precisamente $\left( a_{1},a_{2},\ldots,a_{k},b_{1},b_{2},\ldots,b_{n-k}\right) =\left( \gamma\left( 1\right) ,\gamma\left( 2\right) ,\ldots,\gamma\left( n\right) \right) $ . Ha utilizado un total de \begin{align} & \left( a_{1}-1\right) +\left( a_{2}-2\right) +\cdots+\left( a_{k}-k\right) \\ & = \underbrace{\left( a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}\right) }_{\substack{=\sum K\\\text{(by the definition of }a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\text{)} }}-\underbrace{\left( 1+2+\cdots+k\right) }_{\substack{=1+2+\cdots +\left| K\right| \\\text{(since }k=\left| K\right| \text{)}}} \\ & =\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) \end{align} interruptores. Así, se ha obtenido la lista $\left( \gamma\left( 1\right) ,\gamma\left( 2\right) ,\ldots,\gamma\left( n\right) \right) $ de la lista $\left( 1,2,\ldots,n\right) $ por $\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) $ interruptores de entradas adyacentes. En otras palabras, la permutación $\gamma$ es una composición de $\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) $ transposiciones simples (donde una "transposición simple transposición simple" significa una transposición que cambia $u$ con $u+1$ para algunos $u$ ). Por lo tanto, tiene signo $\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }$ . Esto demuestra el lema 2. $\blacksquare$
Álgebras exteriores
Ahora, introduzcamos algunas notaciones más y expongamos algunas propiedades conocidas relativas a las álgebras exteriores.
Para cualquier $\mathbb{K}$ -Módulo $V$ dejamos que $\wedge V$ denotan el álgebra exterior de $V$ . La multiplicación en esta álgebra exterior se escribirá como yuxtaposición (es decir, escribiremos $ab$ para el producto de dos elementos $a$ y $b$ de $\wedge V$ ) o como multiplicación (es decir, escribiremos $a\cdot b$ para este producto).
Si $k\in\mathbb{N}$ y si $V$ es un $\mathbb{K}$ -módulo, entonces $\wedge^{k}V$ se entenderá el $k$ -a la potencia exterior de $V$ . Si $k\in\mathbb{N}$ , si $V$ y $W$ son dos $\mathbb{K}$ -y si $f:V\rightarrow W$ es un $\mathbb{K} $ -mapa lineal, entonces el $\mathbb{K}$ -mapa lineal $\wedge^{k}V\rightarrow \wedge^{k}W$ inducido canónicamente por $f$ se denotará por $\wedge^{k}f$ . Es es bien sabido que si $V$ y $W$ son dos $\mathbb{K}$ -módulos, si $f:V\rightarrow W$ es un $\mathbb{K}$ -mapa lineal, entonces \begin{align} \left( \wedge^{k}f\right) \left( a\right) \cdot\left( \wedge^{\ell}f\right) \left( b\right) =\left( \wedge^{k+\ell}f\right) \left( ab\right) \label{darij1.eq1} \tag{1} \end{align} para cualquier $k\in\mathbb{N}$ , $\ell\in\mathbb{N}$ , $a\in\wedge^{k}V$ y $b\in\wedge^{\ell}V$ .
Si $V$ es un $\mathbb{K}$ -módulo, entonces \begin{align} uv=\left( -1\right) ^{k\ell}vu \label{darij1.eq2} \tag{2} \end{align} para cualquier $k\in\mathbb{N}$ , $\ell\in\mathbb{N}$ , $u\in\wedge^{k}V$ y $v\in\wedge^{\ell}V$ .
Para cualquier $u\in\mathbb{N}$ Consideramos que $\mathbb{K}^{u}$ como el $\mathbb{K} $ -módulo de vectores columna con $u$ entradas.
Para cualquier $u\in\mathbb{N}$ y $v\in\mathbb{N}$ y cualquier $v\times u$ -matriz $B\in\mathbb{K}^{v\times u}$ definimos $f_{B}$ para ser el $\mathbb{K}$ -lineal mapa $\mathbb{K}^{u}\rightarrow\mathbb{K}^{v}$ enviando cada $x\in\mathbb{K} ^{u}$ a $Bx\in\mathbb{K}^{v}$ . Este $\mathbb{K}$ -mapa lineal $f_{B}$ satisface $\det\left( f_{B}\right) =\det B$ y a menudo se identifica con la matriz $B$ (aunque no lo identificaremos con $B$ aquí).
He aquí otro hecho conocido:
Propuesta 2a. Dejemos que $f:\mathbb{K}^{n}\rightarrow\mathbb{K}^{n}$ ser un $\mathbb{K}$ -mapa lineal. El mapa $\wedge^{n}f:\wedge^{n}\left( \mathbb{K} ^{n}\right) \rightarrow\wedge^{n}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ es la multiplicación por $\det f$ . En otras palabras, cada $z\in\wedge^{n}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ satisface \begin{align} \left( \wedge^{n}f\right) \left( z\right) =\left( \det f\right) z . \label{darij1.eq3} \tag{3} \end{align}
Dejemos que $\left( e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\right) $ sea la base estándar del $\mathbb{K}$ -Módulo $\mathbb{K}^{n}$ . (Así, $e_i$ es el vector columna cuyo $i$ -la quinta entrada es $1$ y cuyas demás entradas son $0$ .)
Para cada subconjunto $K$ de $\left[ n\right] $ definimos $e_K\in \wedge^{\left| K\right| }\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ para ser el elemento $e_{k_{1}}\wedge e_{k_{2}}\wedge\cdots\wedge e_{k_{\left| K\right| }}$ , donde $K$ se escribe en la forma $K=\left\{ k_{1} <k_{2}<\cdots<k_{\left| K\right| }\right\} $ .
Por cada $k\in\mathbb{N}$ y cada conjunto $S$ dejamos que $\mathcal{P}_{k}\left( S \right) $ denota el conjunto de todos los $k$ -subconjuntos de elementos de $S$ .
Es bien sabido que, por cada $k\in\mathbb{N}$ la familia $\left( e_K\right) _{K\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) }$ es un base de la $\mathbb{K}$ -Módulo $\wedge^{k}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ . Aplicando esto a $k=n$ concluimos que la familia $\left( e_K\right) _{K\in\mathcal{P}_{n}\left( \left[ n\right] \right) }$ es una base del $\mathbb{K}$ -Módulo $\wedge^{n}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ . Dado que esta familia $\left( e_K\right) _{K\in\mathcal{P}_{n}\left( \left[ n\right] \right) }$ es la familia de un elemento $\left( e_{\left[ n\right] }\right) $ (porque el único $K\in\mathcal{P}_{n}\left( \left[ n\right] \right) $ es el conjunto $\left[ n\right] $ ), esto se reescribe como sigue: La familia de un elemento familia $\left( e_{\left[ n\right] }\right) $ es una base del $\mathbb{K}$ -Módulo $\wedge^{n}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ .
Si $B$ es un $n\times n$ -matriz y $k\in\mathbb{N}$ y, a continuación, evaluar el mapa $\wedge^{k}f_{B}$ sobre los elementos de la base $\left( e_K\right) _{K\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) }$ de $\wedge ^{k}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ y ampliando los resultados de nuevo en este base da lugar a unos coeficientes que son los $k\times k$ -menores de $B$ . Más concretamente:
Propuesta 3. Dejemos que $B\in\mathbb{K}^{n\times n}$ , $k\in\mathbb{N}$ y $J\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) $ . Entonces, \begin{align} \left( \wedge^{k}f_{B}\right) \left( e_{J}\right) = \sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) }\det\left( B_{J} ^{I}\right) e_{I} . \end{align}
(Esto se puede generalizar: Si $u\in\mathbb{N}$ , $v \in \mathbb{N}$ , $B\in\mathbb{K}^{u\times v}$ , $k\in\mathbb{N}$ y $J\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ v\right] \right) $ , entonces $\left( \wedge^{k}f_{B}\right) \left( e_{J}\right) = \sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ u\right] \right) }\det\left( B_{J} ^{I}\right) e_{I}$ donde los elementos $e_{J}\in\wedge^{k}\left( \mathbb{K}^{v}\right) $ y $e_{I}\in\wedge^{k}\left( \mathbb{K}^{u}\right) $ se definen como antes pero con $v$ y $u$ en lugar de $n$ .)
Extracción de menores del álgebra exterior
Ahora, necesitaremos un simple lema:
Lema 4. Dejemos que $K$ sea un subconjunto de $\left[ n\right] $ . Entonces, \begin{align} e_K e_{\widetilde{K}}=\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }e_{\left[ n\right] } . \end{align}
Prueba del lema 4. Dejemos que $k = \left|K\right|$ . Sea $\sigma$ sea la permutación $w\left( K\right) \in S_n$ definida anteriormente. Su primera $k$ valores $\sigma\left( 1\right) ,\sigma\left( 2\right) ,\ldots,\sigma\left( k\right) $ son los elementos de $K$ en orden creciente; así, $e_{\sigma\left( 1\right) }\wedge e_{\sigma\left( 2\right) }\wedge\cdots\wedge e_{\sigma\left( k\right) }=e_K$ . Su siguiente $n-k$ valores $\sigma\left( k+1\right) ,\sigma\left( k+2\right) ,\ldots,\sigma\left( n\right) $ son los elementos de $\widetilde{K}$ en orden creciente; así, $e_{\sigma\left( k+1\right) }\wedge e_{\sigma\left( k+2\right) }\wedge\cdots\wedge e_{\sigma\left( n\right) }=e_{\widetilde{K}}$ .
Desde $\sigma=w\left( K\right) $ obtenemos $\left( -1\right) ^{\sigma }=\left( -1\right) ^{w\left( K\right) }=\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }$ (por el lema 2).
Ahora bien, es bien sabido que \begin{align} e_{\sigma\left( 1\right) }\wedge e_{\sigma\left( 2\right) }\wedge \cdots\wedge e_{\sigma\left( n\right) }=\left( -1\right) ^{\sigma }\underbrace{e_{1}\wedge e_{2}\wedge\cdots\wedge e_{n}}_{=e_{\left[ n\right] }}=\left( -1\right) ^{\sigma}e_{\left[ n\right] } . \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \left( -1\right) ^{\sigma}e_{\left[ n\right] } & = e_{\sigma\left( 1\right) }\wedge e_{\sigma\left( 2\right) }\wedge\cdots\wedge e_{\sigma\left( n\right) } \\ & = \underbrace{\left( e_{\sigma\left( 1\right) }\wedge e_{\sigma\left( 2\right) }\wedge\cdots\wedge e_{\sigma\left( k\right) }\right) }_{=e_K }\underbrace{\left( e_{\sigma\left( k+1\right) }\wedge e_{\sigma\left( k+2\right) }\wedge\cdots\wedge e_{\sigma\left( n\right) }\right) }_{=e_{\widetilde{K}}} \\ & = e_K e_{\widetilde{K}} . \end{align} Desde $\left( -1\right) ^{\sigma}=\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }$ esto se reescribe como $\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }e_{\left[ n\right] }= e_K e_{\widetilde{K}}$ . Esto demuestra el lema 4. $\blacksquare$
Podemos combinar la Proposición 3 y el Lemma 4 para obtener el siguiente hecho:
Corolario 5. Dejemos que $B\in\mathbb{K}^{n\times n}$ , $k\in\mathbb{N}$ y $J\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) $ . Entonces, cada $K\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) $ satisface \begin{align} \left( \wedge^{k}f_{B}\right) \left( e_{J}\right) e_{\widetilde{K} }=\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+k\right) }\det\left( B_{J}^{K}\right) e_{\left[ n\right] } . \end{align}
Prueba del Corolario 5. Dejemos que $K \in \mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) $ . Sea $I\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) $ sea tal que $I\neq K$ . Entonces, $I\not \subseteq K$ (ya que los conjuntos $I$ y $K$ tienen el mismo tamaño $k$ ). Por lo tanto, existe algún $z\in I$ tal que $z\notin K$ . Considere lo siguiente $z$ . Tenemos $z\in I$ y $z\in\widetilde{K}$ (ya que $z\notin K$ ). Por lo tanto, tanto $e_{I}$ y $e_{\widetilde{K}}$ son "productos de cuña productos" que contienen el factor $e_{z}$ por lo tanto, el producto $e_{I} e_{\widetilde{K}}$ es un "producto cuña" que contiene este factor dos veces. Por lo tanto, $e_{I}e_{\widetilde{K}}=0$ .
Ahora, olvida que hemos arreglado $I$ . Así, hemos demostrado que \begin{align} e_{I}e_{\widetilde{K}}=0 \text{ for every } I\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) \text{ satisfying } I\neq K . \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \sum\limits_{\substack{I\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) ;\\I\neq K}}\det\left( B_{J}^{I}\right) \underbrace{e_{I}e_{\widetilde{K}} }_{=0}=0 . \label{darij1.eq4} \tag{4} \end{align} La proposición 3 da como resultado \begin{align} \left( \wedge^{k}f_{B}\right) \left( e_{J}\right) =\sum\limits_{I\in \mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) }\det\left( B_{J} ^{I}\right) e_{I} . \end{align} Multiplicando ambos lados de esta igualdad por $e_{\widetilde{K}}$ de la derecha, encontramos \begin{align} & \left( \wedge^{k}f_{B}\right) \left( e_{J}\right) e_{\widetilde{K}} =\sum\limits_{I\in\mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) }\det\left( B_{J}^{I}\right) e_{I}e_{\widetilde{K}} \\ & = \det\left( B_{J}^{K}\right) e_K e_{\widetilde{K}}+\sum\limits_{\substack{I\in \mathcal{P}_{k}\left( \left[ n\right] \right) ;\\I\neq K}}\det\left( B_{J}^{I}\right) e_{I}e_{\widetilde{K}} \\ & = \det\left( B_{J}^{K}\right) \underbrace{e_K e_{\widetilde{K}} }_{\substack{=\left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }e_{\left[ n\right] }\\\text{(by Lemma 4)}}} \qquad \text{(by \eqref{darij1.eq4})} \\ & = \left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+\left| K\right| \right) }\det\left( B_{J}^{K}\right) e_{\left[ n\right] } \\ & = \left( -1\right) ^{\sum K-\left( 1+2+\cdots+k\right) }\det\left( B_{J}^{K}\right) e_{\left[ n\right] } \end{align} (ya que $\left| K\right| =k$ ). Esto demuestra el Corolario 5. $\blacksquare$
El corolario 5 es bastante útil cuando se trata de extraer un menor específico de una matriz $B$ de los mapas $\wedge^{k}f_{B}$ .
Demostración del teorema 1
Prueba del teorema 1. Set $k=\left| I\right| =\left| J\right| $ . Observe que $\left| \widetilde{I}\right| =n-k$ (ya que $\left| I\right| =k$ ) y $\left| \widetilde{J}\right| =n-k$ (de forma similar).
Definir $y\in\wedge ^{n-k}\left( \mathbb{K}^{n}\right) $ por $y=\left( \wedge^{n-k}f_{A^{-1} }\right) \left( e_{\widetilde{I}}\right) $ .
Los mapas $f_{A}$ y $f_{A^{-1}}$ son mutuamente inversos (ya que el mapa $\mathbb{K}^{n\times n}\rightarrow\operatorname*{End}\left( \mathbb{K} ^{n}\right) ,\ B\mapsto f_{B}$ es un homomorfismo de anillo). Por lo tanto, los mapas $\wedge^{n-k}f_{A}$ y $\wedge^{n-k}f_{A^{-1}}$ son mutuamente inversos (ya que $\wedge^{n-k}$ es un functor). Por lo tanto, $\left( \wedge^{n-k}f_{A}\right) \circ\left( \wedge^{n-k}f_{A^{-1}}\right) =\operatorname*{id}$ . Ahora, $y=\left( \wedge^{n-k}f_{A^{-1}}\right) \left( e_{\widetilde{I}}\right) $ , por lo que \begin{align} \left( \wedge^{n-k}f_{A}\right) \left( y\right) =\left( \wedge ^{n-k}f_{A}\right) \left( \left( \wedge^{n-k}f_{A^{-1}}\right) \left( e_{\widetilde{I}}\right) \right) =\underbrace{\left( \left( \wedge ^{n-k}f_{A}\right) \circ\left( \wedge^{n-k}f_{A^{-1}}\right) \right) }_{=\operatorname*{id}}\left( e_{\widetilde{I}}\right) =e_{\widetilde{I}} . \end{align} Pero \eqref {darij1.eq1} (aplicado a $V=\mathbb{K}^{n}$ , $W=\mathbb{K}^{n}$ , $f=f_{A}$ , $\ell=n-k$ , $a=e_{J}$ y $b=y$ ) produce \begin{align} \left( \wedge^{k}f_{A}\right) \left( e_{J}\right) \cdot\left( \wedge^{n-k}f_{A}\right) \left( y\right) =\left( \wedge^{n}f_{A}\right) \left( e_{J}y\right) . \end{align} Así, \begin{align} & \left( \wedge^{n}f_{A}\right) \left( e_{J}y\right) =\left( \wedge ^{k}f_{A}\right) \left( e_{J}\right) \cdot\underbrace{\left( \wedge ^{n-k}f_{A}\right) \left( y\right) }_{=e_{\widetilde{I}}} \\ & =\left( \wedge^{k}f_{A}\right) \left( e_{J}\right) e_{\widetilde{I}} = \left( -1\right) ^{\sum I-\left( 1+2+\cdots+k\right) }\det\left( A_J^I \right) e_{\left[ n\right] } \end{align} (por el Corolario 5, aplicado a $B=A$ y $K=I$ ).
Por lo tanto, \begin{align} & \left( -1\right) ^{\sum I-\left( 1+2+\cdots+k\right) }\det\left( A_J^I \right) e_{\left[ n\right] } \\ & = \left( \wedge^{n}f_{A}\right) \left( e_{J}y\right) =\underbrace{\left( \det f_{A}\right) }_{=\det A}e_{J}y \\ & \qquad \text{(by \eqref{darij1.eq3}, applied to $f=f_{A}$ and $z=e_{J}y$)} \\ & = \left( \det A\right) e_{J}y . \label{darij1.eq5} \tag{5} \end{align} Pero \eqref {darij1.eq2} (aplicado a $\ell=n-k$ , $u=e_{J}$ y $v=y$ ) da como resultado \begin{align} & e_{J} y = \left(-1\right)^{k \left(n-k\right)} \underbrace{y}_{=\left( \wedge^{n-k}f_{A^{-1}}\right) \left( e_{\widetilde{I}}\right) } \underbrace{e_{J}} _{=e_{\widetilde{\widetilde{J}}}} \\ & =\left( -1\right) ^{k\left( n-k\right) }\underbrace{\left( \wedge ^{n-k}f_{A^{-1}}\right) \left( e_{\widetilde{I}}\right) e_{\widetilde{\widetilde{J}}}}_{\substack{=\left( -1\right) ^{\sum \widetilde{J}-\left( 1+2+\cdots+\left( n-k\right) \right) }\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J}}\right) e_{\left[ n\right] }\\\text{(by Corollary 5, applied to }A^{-1}\text{, }n-k\text{, }\widetilde{I}\text{ and }\widetilde{J}\\\text{instead of }B\text{, }k\text{, }J\text{ and }K\text{)}}} \\ & =\left( -1\right) ^{k\left( n-k\right) }\left( -1\right) ^{\sum \widetilde{J}-\left( 1+2+\cdots+\left( n-k\right) \right) }\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J}}\right) e_{\left[ n\right] } \\ & =\left( -1\right) ^{k\left( n-k\right) +\sum\widetilde{J}-\left( 1+2+\cdots+\left( n-k\right) \right) }\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J}}\right) e_{\left[ n\right] } . \label{darij1.eq6} \tag{6} \end{align} Pero \begin{align} & k\left( n-k\right) +\underbrace{\sum\widetilde{J}}_{=\sum\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} -\sum J}-\underbrace{\left( 1+2+\cdots+\left( n-k\right) \right) }_{=\sum\left\{ 1,2,\ldots,n-k\right\} } \\ & = k\left( n-k\right) +\sum\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} -\sum J-\sum\left\{ 1,2,\ldots,n-k\right\} \\ & = \underbrace{\sum\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} -\sum\left\{ 1,2,\ldots ,n-k\right\} }_{\substack{=\sum\left\{ n-k+1,n-k+2,\ldots,n\right\} \\=k\left( n-k\right) +\sum\left\{ 1,2,\ldots,k\right\} \\=k\left( n-k\right) +\left( 1+2+\cdots+k\right) }}+k\left( n-k\right) -\sum J \\ & = 2k\left( n-k\right) +\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J \\ & \equiv-\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J \mod 2 . \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \left( -1\right) ^{k\left( n-k\right) +\sum\widetilde{J}-\left( 1+2+\cdots+\left( n-k\right) \right) }=\left( -1\right) ^{-\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J} . \end{align} Así, \eqref {darij1.eq6} se reescribe como \begin{align} e_{J}y=\left( -1\right) ^{-\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J}\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J}}\right) e_{\left[ n\right] } . \end{align} Por lo tanto, \eqref {darij1.eq5} se reescribe como \begin{align} & \left( -1\right) ^{\sum I-\left( 1+2+\cdots+k\right) }\det\left( A_J^I \right) e_{\left[ n\right] } \\ & = \left( \det A\right) \left( -1\right) ^{-\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J}\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J} }\right) e_{\left[ n\right] } . \end{align} Podemos "cancelar" $e_{\left[ n\right] }$ de esta igualdad (porque si $\lambda$ y $\mu$ son dos elementos de $\mathbb{K}$ satisfaciendo $\lambda e_{\left[ n\right] }=\mu e_{\left[ n\right] }$ entonces $\lambda=\mu$ ), y así se obtiene \begin{align} & \left( -1\right) ^{\sum I-\left( 1+2+\cdots+k\right) }\det\left( A_J^I \right) \\ & = \left( \det A\right) \left( -1\right) ^{-\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J}\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J} }\right) . \end{align} Dividiendo esta igualdad por $\left( -1\right) ^{\sum I-\left( 1+2+\cdots +k\right) }$ obtenemos \begin{align} & \det\left( A_J^I \right) \\ & = \left(\det A\right) \dfrac{\left( -1\right) ^{-\left( 1+2+\cdots+k\right) -\sum J}}{\left( -1\right) ^{\sum I-\left( 1+2+\cdots+k\right) }}\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J}}\right) \\ & = \left( -1\right) ^{\sum I+\sum J}\det A\cdot\det\left( \left( A^{-1}\right) _{\widetilde{I}}^{\widetilde{J}}\right) . \end{align} Esto demuestra el Teorema 1. $\blacksquare$
Tengo que admitir que esta prueba parecía mucho más corta en el papel de borrador en en el que fue concebida de lo que ha acabado aquí...
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Vaya, no sabía que las pruebas de álgebra pudieran tener un "sesgo sexista". Tengo demasiada curiosidad para dejarlo pasar ¿a qué te refieres exactamente?
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Sólo me refería al prefacio, donde dice que el libro es adecuado para estudiantes de grado, o chicos en sus últimos años de escuela. ¿Quizás la palabra "chico" tiene un significado neutro en cuanto al género en esa época?