El papel de la completitud en Espacios de Hilbert

Question

¿Por qué los espacios de Hilbert tiene que ser completa?

He estado estudiando (a enseñar a mí mismo acerca de) de Hilbert espacios por un tiempo ahora, ya que tienen un hábito de aparecer en muchos de los papeles que yo voy a venir a través de (yo soy un científico de la computación). Yo entiendo que lo que la integridad significa (re secuencias de Cauchy), la mayoría de los textos en claro. Lo que yo deseo de los textos más claro es la razón por la integridad es necesaria.

Te agradecería, explicaciones sencillas, si es posible.

Gracias.

Answer 1

Las respuestas ya publicadas que son bastante satisfactorio, me gustaría añadir un punto de vista (con el riesgo de hacer la cosa más confusa para el OP :). Cuando Sobolev comenzó la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, que no han razonable de la función de los espacios disponibles: trabajo en $C^2$ es una pesadilla tan pronto como usted desea hacer el cálculo de variaciones, y es inmediatamente claro que "hay algo que falta". Usted, naturalmente, construir soluciones mediante la aproximación de ellos (con la minimización de las secuencias, con suave aproximaciones etc. etc.). El enfoque original de Sobolev fue: bueno, todo lo que tengo es esta aproximación de la secuencia, por lo que ESTA SECUENCIA es mi solución, lo que eso significa. Esta fue su definición original de "solución débil'.

Como se puede ver, fue la dispensación completamente con integridad, y trabajando sólo con las funciones de un subespacio denso. Esto está perfectamente bien, y estoy tentado a responder a la pregunta original, con la paradoja: la integridad no es realmente necesario, incluso desde un punto de vista teórico, ya que, por supuesto, usted puede incrustar cada normativa espacio en uno completo. Pero esto es muy complicado, es mucho más económico para 'definir' el límite de la secuencia de aproximación. De hecho, este procedimiento es, precisamente, lo que se denomina conclusión. Trabajar en un espacio que hace posible el límite de su aproximación y definir una solución como un objeto concreto. 100 yeasr más tarde, nos encontramos con este enfoque totalmente natural. Creo que esta fue una de las fuerzas impulsoras detrás de la adopción universal de completar espacios en el análisis.

Answer 2

Tuve un pensamiento sobre esto hoy. Completar un espacio es un poco como conseguir un préstamo bancario para comprar algo realmente bonito (oso conmigo en esto). Porque:

1. Si usted tiene suficiente dinero ya, conseguir un préstamo bancario que no vale la pena la molestia.

   Si usted puede hacer su análisis sin necesidad de conclusión, a continuación, que es más sencillo hacerlo.

2. El préstamo aún no se ha pagado, pero tener un préstamo significa que usted aplazar el pago hasta más tarde.

   Como otros han dicho, un uso común de finalización es el uso de espacio de Hilbert técnicas para el estudio de la no-espacios de Hilbert. Pero, a menudo, uno quiere saber que el resultado final es en el espacio original. Así que, usando el espacio de Hilbert de las técnicas es una manera de poner fuera de las preguntas de la existencia hasta más tarde.

3. Si eres un mago de las finanzas, usted puede tomar la carga, use el dinero para hacer más dinero, pagar el préstamo original y terminar por delante del juego.

   A veces, sólo a veces, una vez que has hecho el espacio de Hilbert cosas, entonces todo el resto sólo se cae en su lugar.

El punto, tal como es, es que cuando tienes una incompleta espacio de Hilbert, a continuación, completar añade en cosas que usted no quiere - si usted desea, entonces usted lo habría puesto allí para empezar. Por lo tanto, cuando nos completa de funciones continuas a cuadrado integrable queridos, lo hacemos en el conocimiento de que nosotros prefiere ser el uso de funciones continuas, ya que estamos mucho mejor comportamiento de estos desagradables, no del todo-funciones.

Juan Báez es amante de una cita atribuida a Grothendieck: "Es mejor trabajar en una buena categoría, con desagradables objetos que en un desagradable categoría con buenos objetos.". Uno puede adaptarlo a espacios de Hilbert: "Es mejor trabajar en un agradable espacio vectorial con desagradables elementos que en un desagradable espacio vectorial con buenos elementos.". En este sentido, Schwarz funciones son algunas de las mejores funciones que puede cumplirse, pero viven en el alojamiento de estudiantes. Por otro lado, cuadrado integrable funciones tienen algunos indeseables hábitos personales, pero viven en una gran mansión.

Y para subrayar mi último punto, a veces, es posible ir a una fiesta organizada por el Cuadrado Integrables en su mansión elegante, pero pasar todo el tiempo saliendo con el Negro de la familia.

Answer 3

Hay muchos usos de la integridad. Uno de los primeros (y uno de los más llamativos) es el hecho de que un subespacio cerrado tiene un complemento. Este a su vez utiliza el hecho de que por un punto no en el subespacio cerrado hay un punto en el subespacio que es la más cercana a ella. Esto se muestra mediante la construcción de una secuencia de Cauchy cuyo límite (que existe por la integridad) es el punto deseado. (Tenga en cuenta que la construcción también los usos que tenemos no sólo una norma, sino un producto escalar y que el producto escalar también se utiliza en la demostración de la unicidad.)

Answer 4

Una de las buenas propiedades de los espacios de Hilbert es la representación de Riesz teorema: todos los acotado funcional lineal f sobre un espacio de Hilbert H se puede escribir como f(x)=⟨x,y⟩ mediante el uso de algún y∈H.

Answer 5

Muchos de los puntos que se han mencionado, pero el escaneo a través de las viejas preguntas he encontrado esta aquí: nadie ha mencionado que se puede clasificar de Hilbert espacios tan fácilmente por el tamaño de la base de Hilbert. Si usted solamente tiene pre espacios de Hilbert, entonces hay una abundancia de posibilidades más allá de cualquier clasificación. Sólo después de las terminaciones de estas diferencias se vuelven whiped a cabo.

Así, la terminación tiene siempre dos aspectos para mí: uno conseguir algo gratis (y cada vez más es siempre mejor), el nuevo punto límite. Por otro lado, uno pierde la información sobre el subespacio denso comenzó con. Esto podría o no podría ser una ventaja (la clasificación se hace más fácil, pero también más grueso...)