¿Es la categoría de representación de los grupos cuánticos en la raíz de la unidad visiblemente unitaria?

Question

Sea $\mathfrak g$ sea un álgebra de Lie simple.
Al cursar la especialización en $q^\ell=1$ de una cierta versión integral¹ del grupo cuántico $U_q(\mathfrak g)$ , y considerando una cierta categoría cociente² de la categoría de módulos basculantes³ sobre esa álgebra de Hopf, se obtiene una categoría de fusión. Además, utilizando el universal $R$ -y el llamado elemento encantado, se puede dotar a esa categoría de fusión de la estructura de una categoría tensorial modular.

¿Puede utilizarse este enfoque para dotar a esta categoría de la estructura de una unitario ¿categoría tensorial modular?

En otras palabras, ¿es posible dotar a los objetos de esta categoría de algún tipo de estructura extra (algo así como un producto interior) de tal forma que el adjunto $f^*:W\to V$ de un morfismo $f:V\to W$ tiene sentido, y tal que el trenzado y la torsión son unitarios?

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¹: Esa versión integral se suele denotar $U_q^{res}(\mathfrak g)$ . Está generado por los elementos habituales $K_i$ , $E_i$ , $F_i$ junto con los poderes divididos $E_i^{[r]}:=\frac{E_i^r}{[r]!}$ y $F_i^{[r]}:=\frac{F_i^r}{[r]!}$ .
²: Esta categoría cociente tiene los mismos objetos que la categoría original. Los hom-espacios son modded a cabo por el subespacio de morfismos despreciables, donde a morfismos $f:V\to W$ es despreciable si $tr_q(fg)=0$ para cualquier $g:W\to V$ .
³: Un módulo es basculante si admite una filtración cuyas piezas graduadas asociadas son módulos de Weyl, y también admite una filtración cuyas piezas graduadas asociadas son duales de módulos de Weyl. Aquí, los módulos de Weyl, son los que "parecen" irreps de $\mathfrak g$ .

Answer 1

La respuesta es "A veces".

Siguiendo la notación de "De los grupos cuánticos a las categorías tensoriales modulares unitarias" de Rowell , dejemos que $\mathcal C(\mathfrak g, l, q)$ sea la categoría correspondiente a $U_q(\mathfrak g)$ tal que $q=e^{\pi \imath/l}$ Denote por $m$ es el cociente entre las longitudes cuadradas de una raíz larga y una raíz corta. Como ya se ha dicho, esto sólo permite llegar a ser una categoría de fusión de cintas (también llamada categoría premodular).

Las cuestiones de unitaridad y modularidad para $\mathcal C(\mathfrak g, l,q)$ se abordan en la sección 4. En concreto $\mathcal C(\mathfrak g, l,m)$ es unitario si $m\vert l$ . Esto se atribuye tanto a Wenzl y Xu . Modularidad en el caso de que $m\vert l$ se atribuye a Kirillov (entre otros). Numerosos casos en los que $m\not\vert l$ se tratan en Rowell.

Como cuestión relacionada pero diferente, supongamos que se tiene una categoría tensorial modular $\mathcal C$ y quiere saber si puede hacerse unitario. Entonces, por los teoremas 3.2 (Todo trenzado de una categoría de fusión unitaria es unitario) y 3.5 (Todo trenzado de una categoría de fusión unitaria admite una única estructura de cinta unitaria) de Galindo "Sobre las categorías de fusión unitaria trenzada y en cinta" basta con determinar si $\mathcal C$ admite la estructura de una categoría de fusión unitaria.