Riemann combina lo que hoy se denomina Riemann-Roch y Riemann-Hurwitz. Considera la dimensión del espacio de mapas holomorfos de grado $d$ de la superficie de Riemann de género $g$ a la esfera. Calcula esta dimensión de dos maneras. Por Riemann-Roch esta dimensión es $2d-g+1$ para una superficie de Riemann fija. (De hecho, Riemann-Roch dice que la dimensión del espacio de tales funciones con $d$ polos fijos es $d-g+1$ (cuando $d\geq 2g-1$ que podemos suponer), pero estos polos se pueden mover, por lo que hay que añadir $d$ parámetros).
Por otro lado, dicha función tiene $2(d+g-1)$ puntos críticos por Riemann-Hurwitz. Generalmente, los valores críticos son distintos, y pueden ser asignados arbitrariamente, y esto da la dimensión del conjunto de todos los mapas de este tipo en todas las superficies de Riemann de género $g$ . Así, el espacio de todas las superficies de Riemann de género $g$ debe ser de dimensión $$2(d+g-1)-(2d-g+1)=3g-3.$$ Riemann-Roch se demuestra en la sección 5 de la Parte I y la dimensión del espacio de moduli se cuenta en la sección 12 de la Parte I del artículo citado en la respuesta de F. Zaldivar.
Observación. En efecto, Riemann no conocía las trenzas, la cohomología ni la dualidad de Serre. Tampoco conocía la definición general de una superficie de Riemann (que se debe a Weyl). Pero hay que tener en cuenta que todas estas nociones se desarrollaron con el fin de explicar y digerir lo que Riemann escribió en este trabajo.
Observación 2. Un par $(S,f)$ , donde $S$ es una superficie de Riemann, y $f$ una función meromorfa de $S$ a la esfera de Riemann se denomina "superficie de Riemann extendida sobre la esfera" (Uberlagerungsflache). Todos los pares de este tipo pueden construirse de la siguiente manera siguiente manera: se eligen los valores críticos de $f$ y hacer algunos cortes entre ellos para que la región restante en la esfera esté simplemente conectada. A continuación, toma $d$ copias de esta región (se llaman hojas) apílalas sobre la esfera, y pégalas a lo largo de los cortes. Se obtiene una superficie $S$ junto con un mapa $f$ la proyección "vertical" sobre la esfera. Los parámetros son valores críticos.
Riemann no tenía ninguna definición exacta de "superficie de Riemann", sólo explicaba este procedimiento de pegado como una herramienta de visualización. Para él, $S$ es una "clase de curvas algebraicas $F(x,y)=0$ bajo equivalencia birracional". Hasta los trabajos de Weyl, estos pares $(S,f)$ se llamaron superficies de Riemann, y sólo Weyl definió exactamente lo que $S$ es. Hoy en día $S$ se llama superficie de Riemann, y un par $(S,f)$ una "superficie de Riemann superficie extendida sobre la esfera".
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Supongo que el teorema de Riemann-Roch ya era conocido por Riemann.
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He echado un vistazo al artículo, parece que la fórmula del género de grado ya es conocida por Riemann.
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@Bombyxmori Eso sería increíble, teniendo en cuenta que la noción de superficies de Riemann (o colector complejo) probablemente no era entendida por el resto del mundo.
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@ThiKu Creo que sí.
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@ThiKu La cuestión es si la versión con $H^1(X,L)$ en lugar de $H^0(X,K_X\otimes L^{-1})$ era conocido por Riemann. La prueba de Riemann que se discute en las respuestas de F Zaldivar y Alexandre Ermenko sólo utiliza la segunda noción, más elemental.
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Hay tres versiones de Riemann-Roch . En este trabajo, Riemann introdujo su desigualdad, más débil que la versión completa. Demostró que $h^0(X;\mathcal O(D))\geqslant d(D)-g+1$ con igualdad si $d(D)\geqslant 2g-1$ . Una década más tarde, Roch refinó esto hasta una igualdad identificando el término de error en términos de diferenciales. Creo que el $H^1$ la interpretación tuvo que esperar a la cohomología de las esquilas coherentes, casi un siglo después. @WillSawin
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@BenWieland Gracias, no conocía la historia exacta pero eso tiene mucho sentido, y por supuesto solo la igualdad si $d \geq 2g-1$ (o incluso $d$ suficientemente grande) es necesario para el argumento de Riemann.
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@Will Savin: parece que utiliza la igualdad (aunque es suficiente para su argumento tenerla para grandes $d$ sólo). Y su prueba en el documento parece demostrar sólo la desigualdad.