$3 \times 3$ matriz con determinante un gran poder de $2$

Question

He aquí un poco de curiosidad que he encontrado. El siguiente $3 \times 3$ matriz tiene las entradas que son distintos de los números primos $< 100$ y su determinante es $2^{19}$. $$ \pmatrix{71 & 31 & 97\cr 61 & 67 & 23\cr 7 & 83 & 73}$$ ¿Alguien sabe de otra matriz cuyo determinante es distinto de cero y divisible por un mayor poder de $2$? Si no, ¿cuál es el mínimo de $p$ que hay un $3 \times 3$ matriz con entradas distintas de los números primos $\le p$ y determinante distinto de cero y divisible por un mayor poder de $2$? Lo que si dejamos caer el requisito de las entradas de los números primos (y permiten distintos números enteros positivos $\le p$)?

Answer 1

Para obtener determinante $2^{20}$, se requieren para incluir uno adicional en el primer número: $101$, y uno de estos ejemplos serán: $$ \det \pmatrix{101 & 17 & 67 \cr 61 & 97 & 3\cr 7 & 83 & 89} = 2^{20}.$$

(actualizado)

Aquí está la lista de ejemplos de matrices con distintas primer entradas con los factores determinantes de la forma $2^d$ (tenga en cuenta que no estoy seguro de que los $p_{max}$ están totalmente en lo correcto: algunos de ellos probablemente se podría mejorar un poco): \begin{array}{|c|c|c|} \hline d & p_{max}& matrix & det \\ \hline 20 & 101 & \pmatrix{101 & 79 & 2 \cr 13 & 83 & 89 \cr 71 & 17 & 97} & 2^{20} \\ \hline 21 & 127 & \pmatrix{127 & 107 & 19 \cr 3 & 109 & 103 \cr 89 & 5 & 101} & 2^{21}\\ \hline 22 & 151 & \pmatrix{151 & 139 & 13 \cr 3 & 127 & 137 \cr 103 & 19 & 149} & 2^{22}\\ \hline 23 & 181 & \pmatrix{181 & 167 & 3 \cr 11 & 157 & 179 \cr 163 & 13 & 151} & 2^{23}\\ \hline 24 & 229 & \pmatrix{229 & 193 & 13 \cr 7 & 191 & 227 \cr 181 & 3 & 223} & 2^{24}\\ \hline 25 & 277 & \pmatrix{277 & 241 & 3 \cr 7 & 269 & 271 \cr 257 & 29 & 263} & 2^{25} \\ \hline 26 & 349 & \pmatrix{349 & 317 & 3 \cr 5 & 337 & 331 \cr 313 & 13 & 311} & 2^{26} \\ \hline 27 & \underline{431} & \pmatrix{431 & 389 & 3 \cr 7 & 409 & 419 \cr 397 & 17 & 421} & 2^{27} \\ \hline 28 & 557 & \pmatrix{557 & 463 & 3 \cr 5 & 541 & 499 \cr 509 & 17 & 523} & 2^{28} \\ \hline 29 & 677 & \pmatrix{677 & 673 & 5 \cr 43 & 659 & 647 \cr 661 & 37 & 641} & 2^{29} \\ \hline 30 & 853 & \pmatrix{853 & 811 & 79 \cr 3 & 839 & 829 \cr 809 & 5 & 823} & 2^{30} \\ \hline 31 & 1063 & \pmatrix{1063 & 1051 & 3 \cr 13 & 1039 & 971 \cr 1049 & 43 & 1031} & 2^{31} \\ \hline 32 & 1321 & \pmatrix{1321 & 1289 & 17 \cr 31 & 1319 & 1279 \cr 1301 & 11 & 1291} & 2^{32} \\ \hline \cdots \\ \end{array}

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Si suelta el requisito de las entradas de los números primos, y considerar las matrices con distintas entradas (menos de $100$), a continuación hay ejemplos con $2^{20}$: $$ \det \pmatrix{99 & 81 & 10\cr 5 & 96 & 86\cr 87 & 26 & 82} = 2^{20},$$ $$ \det \pmatrix{96 & 94 & 6\cr 35 & 86 & 85\cr 91 & 8 & 87} = 2^{20};$$

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extraño (pero no todos prime) entradas: $$ \det \pmatrix{99 & 95 & 5\cr 23 & 93 & 89\cr 85 & 31 & 91} = 2^{20}.$$

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Parece que el mayor determinante de una matriz con distinta positivo entradas de menos de $100$ es $1742902\approx 2^{20.733}$ (o cerca de este número): $$ \det\pmatrix{99 & 3 & 95\cr 94 y 98 & 1\cr 2 y 96 y 97} = 1742902, $$ así que no hay ninguna esperanza de encontrar alguna $3\times 3$ ejemplo de matriz con determinante $2^{21}$.

Answer 2

Me di cuenta de que se puede inferir el menos primos p tales que el determinante es $2^n$ mediante el uso de la relación determinante <$2p^3.$
Al menos el primer satisfaga la desigualdad $2^n<2p^3<2^{(n+1)}.$

        expected range   actual prime  
2^20:    80-101            101
2^21:    101-128           127
2^22:    128-161           157
2^30:    812-1024          853
2^31:    1024-1290          ?

$$\pmatrix{a & b & c\cr d & e & f\cr g & h & i}$$

Above determinant is given below.

$$a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

Let's assume $3 \veces 3$ matrix with entries are distinct positive integer $<100.$
El máximo valor del determinante $2 \times 2$ matriz<$99^2<2.4\times2^{12}.$
$3 \times 3$ matriz tiene las siguientes propiedades.
Si $(ei - fh)$ e $(dh - eg)$ son positivos, $(di - fg)$ siempre será positivo. He comprobado que por la fuerza bruta.
Por lo tanto tenemos

\begin{align} a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)&<(a+c)\times 2.4\times2^{12}\\ &<200\times2.4\times2^{12}\\ &<2^{21}\\ \end{align}

Por lo tanto el máximo de $2^n$ de determinante $3 \times 3$ matriz=$2^{20}.$

Resultado de la búsqueda por fuerza bruta.
$3 \times 3$ matriz con entradas son distintos de los números primos $<100.$

Caso: No todas las entradas son los principales.
Determinante es $2^{20}$.

$$\pmatrix{71 & 3 & 89\cr 83 & 79 & 13\cr 11 & 97 & 93}$$ $$\pmatrix{73 & 5 & 83\cr 89 & 79 & 11\cr 7 & 91 & 93}$$ $$\pmatrix{83 & 13 & 79\cr 89 & 71 & 5\cr 3 & 93 & 95}$$

Case: All entries are prime.

It seems that there is no solution for determinant is $2^n$ with $n>19.$
Hay muchas matrices con determinante es $2^{19}.$
Por ejemplo,
$$\pmatrix{3 & 5 & 79\cr 83 & 13 & 23\cr 29 & 89 & 71}$$ $$\pmatrix{3 & 11 & 79\cr 83 & 7 & 59\cr 39 & 89 & 53}$$ $$\pmatrix{39 & 3 & 59\cr 89 & 61 & 5\cr 7 & 79 & 71}$$