Estoy estudiando $p$-análisis adic ahora y particularmente $p$-interpolación adic; por ejemplo, construcciones como $p$-adic $L$-funciones (Kubota Leopoldt estilo). Aunque estoy teniendo algunas dificultades, y gustaría empezar por conocer lo que motiva el estudio. ¿Lo que realmente haces con $p$-$L$-funciones y funciones zeta adic?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
YequalsX
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Esta no es una pregunta que tiene una respuesta corta, debido a que $p$-ádico $L$-las funciones son uno de los grandes objetos en la moderna teoría de números.
Permítanme, sin embargo:
Riemann demostró que los zeta función supone racional valores negativos números enteros impares. El mismo tipo de resultados tiene para los valores especiales de Dirichlet $L$-funciones.
Consideremos Dirichlet $L$funciones $\sum_{n = 1}^{\infty} \chi(n) n^{-k}$ donde $\chi$ es un carácter de Dirichlet modulo algunos $p^N$. (Si $\chi$ es trivial, entonces esto le da al "$p$-privadas" zeta función, es decir, la de Riemann zeta función, pero con Euler factor en $p$ retirado).
Ahora podemos pensar de $n \mapsto \chi(n) n^{-k}$ como un personaje en $(\mathbb Z/p^N)^{\times}$ con valores en $\mathbb Z[\zeta]/p^N$ (donde $\zeta$ es una adecuada raíz de la unidad elegida para que los valores de $\chi$ tierra en $\mathbb Z[\zeta]$).
Si $\chi,k$ $\chi',k'$ son tales que los dos caracteres $n \mapsto \chi(n)n^{-k}$ $n \mapsto \chi'(n) n^{\prime -k}$ son congruentes mod $p^a$ (para algunos $a \leq N$), luego busca en la Dirichlet de la serie se pueden imaginar que el correspondiente $L$valores $L(\chi,k)$ $L(\chi',k')$ también debe ser congruenct mod $p^a$ (sólo porque los términos son congruentes).
Por supuesto, el razonamiento de esta manera con congruencias no es válida para la serie infinita, y si $k$ $k'$ están en el semiplano de la convergencia de las $L$-funciones, a continuación, el correspondiente $L$-valores son trascendentales y de la congruencia no tiene sentido.
Pero ... en los valores de $k$ $k'$ donde los valores son números racionales, la congruencia no tiene! Por supuesto, los de arriba "razonamiento" de un término por término de la congruencia de los miembros de la secuencia es falso, porque no es válido para una serie infinita, y la serie no puede converger a estos valores negativos de $k$, de todos modos. Pero todavía se puede demostrar la congruencia. (Kummer hizo en el caso de $a = 1$, es decir, sólo el trabajo de mod $p$. Kubota y Leopoldt hizo el caso general.)
Kummer la motivación era (entre otras cosas) de que el caso al $k = 0$ $\chi$ es no trivial tiene que ver con los números de clase de $p$-ádico cyclotomic campos (por el número de clase de la fórmula) y quería saber si son divisibles por $p$ (es decir, cuando los números primos eran irregulares). El uso de su congruencia, él podría probar esta trabajando con el carácter trivial, pero con un valor distinto de cero (negativo) el valor de $k$. Pero en este caso nos están buscando en especial los valores de la $\zeta$-función, que son los números de Bernoulli. Esta es la forma en Kummer demostrado su criterio para un primer ser regulares en términos de los números de Bernoulli.
Así que la teoría de la $p$-ádico $L$-funciones tiene sus raíces en Kummer del estudio de cyclotomic campos. Sigue siendo un tema central en el estudio de cyclotomic campos, y, en general, $p$-ádico $L$-funciones forman la base para casi todas las investigaciones en las fórmulas relacionadas con $L$-de los valores y de la aritmética (como la BSD conjetura, el principal de la conjetura de la teoría de Iwasawa en diversos contextos, la de Bloch--Kato conj., etc.)
