Una secuencia espectral para calcular la cohomología de un espacio a partir de la de sus estratos

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad compleja suave (no necesariamente compacta) y sea $D$ sea un divisor normal de cruces con componentes $D_1$ , $D_2$ , ..., $D_N$ . Para un conjunto de índices $I$ , dejemos que $D_I = \bigcap_{i \in I} D_i$ y que $D^{\circ}_I = D_I \setminus \bigcup_{J \supsetneq I} D_J$ . Me gustaría calcular $H^{\ast}(X)$ en el caso de que conozca todos los $H^{\ast}(D_I^{\circ})$ .

Me parece que debería haber una secuencia espectral cuya primera página es $\bigoplus_{\#(I)=p} H^{q-p}(D^{\circ}_I)$ . Si $I' \supset I$ con $\#(I') = \#(I)+1=p+1$ , entonces el mapa $H^{q-p}(D^{\circ}_{I}) \to H^{q-(p+1)}(D^{\circ}_{I'})$ daría el mapa de Gysin (hasta las cuestiones de signo estándar).

¿Tiene esta secuencia un nombre, o es un caso especial de algo que tiene un nombre? ¿Dónde puedo leer sobre ella?

Answer 1

Dejemos que $X = T_n \supset T_{n-1} \supset \cdots \supset T_{-1} = \varnothing$ sea un espacio topológico filtrado por subespacios cerrados, donde por simplicidad he asumido el filtrado acotado. Entonces existe una secuencia espectral $$ E_1^{pq} = H^{p+q}_c(T_p \setminus T_{p-1}) \implies H^{p+q}_c(X).$$ (Para que esto y lo que sigue sea cierto, se requieren algunas suposiciones leves de conjunto de puntos, pero permítanme que no las tenga en cuenta). Como has señalado en un comentario, esto da la secuencia espectral que quieres por dualidad de Poincaré.

Normalmente, la secuencia espectral de un espacio filtrado se escribe en términos de cohomología ordinaria en lugar de cohomología con soporte compacto. Una razón es que la secuencia espectral con soporte compacto es un caso especial de la habitual. Recordemos que si $U \subset \overline U$ es cualquier compactación de un espacio $U$ entonces $H^\bullet_c(U) = H^\bullet(\overline U, \partial U)$ , donde $\partial U = \overline U \setminus U$ . Así que si elegimos una compactación arbitraria $X \subset \overline X$ y que $\overline T_p$ sea el cierre de $T_p$ en $\overline X$ , entonces obtenemos una filtración $$\overline X = \overline T_n \cup \partial X \supset \overline T_{n-1} \cup \partial X \supset \overline T_{n-2} \cup \partial X \supset \cdots \supset \overline T_{-1} \cup \partial X = \partial X.$$

Ahora la secuencia espectral habitual de una filtración dice $$ E_1^{pq} = H^{p+q}(\overline T_p \cup \partial X,\overline T_{p-1}\cup \partial X) = H^{p+q}(\overline T_p,\overline T_{p-1}) \implies H^{p+q}(\overline X, \partial X),$$ y esta es la secuencia espectral que queríamos.

(A menudo se elige $\overline X$ y $\overline T_p$ para ser la compactación de un punto de $X$ resp. $T_p$ y entonces lo anterior es sólo la secuencia espectral para la cohomología reducida a filtrada basado en espacio. Pero permitirse usar cualquier compactación es útil en el entorno algebraico, que es el que le interesa).

He aquí una derivación alternativa "sheafy" de la secuencia espectral. La gavilla constante $\mathbf Z_X$ está filtrada: $$\mathbf Z_X = \mathbf Z_{T_n} \supset \mathbf Z_{T_{n-1}} \supset \cdots \supset \mathbf Z_{T_{-1}} = 0$$ donde denoto por $\mathbf Z_A$ el pushforward de la gavilla constante en el subespacio $A$ . Los cocientes sucesivos en el gradiente asociado para esta filtración son de la forma ${j_n}_!\mathbf Z$ , donde $j_n$ es la inclusión localmente cerrada de $T_n \setminus T_{n-1}$ . La cohomología con soporte compacto de este objeto filtrado da lugar a una secuencia espectral que es exactamente la que queremos. Una referencia útil para entender esto es la sección sobre objetos filtrados y secuencias espectrales en el libro de Lurie "Stable $\infty$ -categorías" (Capítulo 1 de Álgebra Superior).

Para responder a una pregunta que has hecho en los comentarios, la secuencia espectral de un espacio filtrado es efectivamente compatible con la estructura mixta de Hodge, cuando $X$ es una variedad algebraica filtrada por subvariedades cerradas. Así que la que consideras (por dualidad de Poincaré) es compatible hasta el giro de Tate. No sé cuál es la referencia canónica para este hecho, pero las secciones 3 y 4 de "La secuencia espectral de Leray es motivacional" de Arapura demuestran de forma bastante general que la secuencia espectral de una variedad algebraica filtrada es compatible con todo tipo de estructura "motivacional" extra.