Formalidad de la clasificación de los espacios

Question

Deje $G$ ser un compacto de Lie del grupo (o reductora algebraicas grupo de más de $\mathbb{C}$), y deje $BG$ ser su clasificación en el espacio. Revisión de un primer $p$. Deje $\mathcal{A}$ denotar la dirección general de álgebra de singular cochains en $BG$ con coeficientes en un campo o característica $p$ (o si se prefiere de la dirección general de álgebra de endomorphisms de la constante gavilla). Mi pregunta es:

Es conocido por la cual los números primos $p$ la dg de álgebra $\mathcal{A}$ es formal, es decir, cuasi-isomorfo a un dg álgebra con trivial diferencial?

Supongo / espero que la respuesta es que esto es cierto si $p$ no es una torsión principal para $G$ (es decir, $p$ arbitrarias en los tipos de $A$ y $C$, $p \ne 2$ en los tipos de $B$, $D$ y $G_2$, $p \ne 2, 3$ en los tipos de $F_4$, $E_6$ y $E_7$y $p \ne 2,3,5$ tipo $E_8$.)

Tenga en cuenta que sabemos* que $\mathcal{A}$ formal en la característica 0.

Se puede entonces concluir que es formal en cualquier carácter en el que la cohomology de $\mathcal{A}$ es de torsión libre?

Si es así creo que esto daría a la anterior lista de números primos.

*) debido, por ejemplo, $H(BG, \mathbb{Q})$ es un poynomial álgebra, y $\mathcal{A}$ admite gradual conmutativa modelo utilizando el complejo de de Rham -- véase Bernstein-Lunts "Equivariant poleas y functors".

Answer 1

Creo que esbozó la prueba. En más detalle, vamos a $W$ ser el grupo de Weyl $G$, e $T$ su máxima toro. Pick $p$ coprime a $|W|$; esto permite ignorar mayor $W$ grupo cohomology en el cálculo

$$H^*(BG, \mathbb{F}_p) \cong H^*(BT, \mathbb{F}_p)^W$$

Desde $W$ es un grupo de reflexión, $H^*(BT, \mathbb{F}_p)^W$ es un polinomio de álgebra, por ejemplo en $d$ generadores. Pick cocycle representantes de $x_1, \dots, x_d \in C^*(BG, \mathbb{F}_p)$. Ahora vamos a $R = \mathbb{F}_p[y_1, \dots, y_d]$ ser el libre gradual álgebra conmutativa en los generadores $y_i$ en el mismo grado como $x_i$, y equipar $R$ con $0$ diferencial. Por la libertad (y el hecho de que $d(x_i) = 0$), se obtiene un mapa de $R \to C^*(BG, \mathbb{F}_p)$ de la DGA la que envía a $y_i$ a $x_i$. Usted sabe (porque se construye de esa manera) que induce un isomorfismo en cohomology, y por lo $BG$ es formal en el primer $p$.

Si usted tiene algún otro mecanismo para garantizar que $H^*(BG, \mathbb{F}_p)$ es un polinomio de álgebra (por ejemplo, la instrucción se conoce integralmente, como para $G = U(n)$, $Sp(n)$), el mismo argumento funciona.