Topológico de la transversalidad

Question

Calentamiento pregunta:
Digamos que dos funciones continuas $f,g:[0,1]\to \mathbb R$ son topológicamente transversal si su diferencia $f-g$ tiene sólo un número finito de ceros, y cada cero separa un intervalo donde el $f>g$ a partir de un intervalo donde el $f<g$ (y digamos que tambien imponer $f(0)\not = g(0)$ e $f(1)\not = g(1)$).

Deje $f_1,\ldots,f_n\in C^0([0,1])$ ser funciones continuas. Es cierto que el conjunto de $$\big\{\,g\in C^0([0,1])\,\,\big|\,\,\,\forall i,\,\,\, g\,\, \text{ is topologically transverse to } f_i\big\}$$ es denso en $C^0([0,1])$?

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Lo que realmente se necesita:
Deje $\gamma_1,\ldots,\gamma_n$ ser un conjunto finito de curvas (Jordania Arcos) en $\mathbb R^2$. No transversalidad supone entre el $\gamma_i$. Es el conjunto de curvas que son topológicamente transversal a todas las $\gamma_i$ denso en el $C^0$ topología?

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Más en general:
Deje $M_1,\ldots,M_k$ ser una colección finita de topológico submanifolds de $\mathbb R^n$ (de varias dimensiones, por ejemplo). Es el conjunto de (digamos compacto) topológica submanifolds de $\mathbb R^n$ que son topológicamente transversal a todas las $M_i$ denso entre todos submanifolds de $\mathbb R^n$, con respecto a la $C^0$-topología?

(Aquí, no estoy exactamente seguro de qué "$C^0$-topología" en el conjunto de todos los submanifolds de $\mathbb R^n$ es la que mejor se adaptan a mi problema. El "$C^0$-distancia" entre dos submanifolds $M,N\subset\mathbb R^n$ podría entenderse:
(1) la distancia de Hausdorff (probablemente no lo que yo quiero).
(2) $\inf_f\sup_{x\in M}|f(x)-x|$, donde $f$ ejecuta a través de todos los homeomorphism de $M$ a $N$.
(3) $\inf_f\sup_{x\in \mathbb R^n}|f(x)-x|$, donde $f$ ejecuta a través de todos los homeomorphism de $\mathbb R^n$ mapa $M$ a $N$.)

Answer 1

La respuesta a las dos primeras preguntas es sí. Para el tercero, creo que no entiendo la correcta generalización de topológica de la transversalidad a las dimensiones superiores. Voy a probar la segunda. Mientras que la primera no seguir estrictamente (que uno necesita para mostrar que la transversalidad se puede lograr en el espacio de la gráfica de las curvas), la prueba es similar.

Deje $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb R^2$ ser un mapa continuo. Comenzamos por hacer $\gamma$ topológicamente transversal a $\gamma_1$, en una forma que se adapta perfectamente a la otra $\gamma_i$. Deje $K_{ij}=\partial(\gamma_i\cap\gamma_j)$, donde el límite es tomado en $\gamma_i$, y deje $K_i=\bigcup K_{ij}$. Podemos demostrar primero que $\gamma$ puede ser perturbada en un $C^0$-pequeña manera de ser topológicamente transversal a $\gamma_1$ y disjunta de $K_1$.

Después de un automorphism de $\mathbb R^2$, podemos suponer que la $\gamma_1=[0,1]\times\mathbb R$. Para obtener sólo la transversalidad con $\gamma_1$, se puede modificar el $\gamma$ a de ser por tramos lineales de cerca de $\gamma_1$ y sin cambios en otros lugares. Desde $K_{1i}$ es denso en ninguna parte en $\gamma_1$ para todos los $i$, por lo que es $K_1$, y a partir de ahí es fácil ver que un seccionalmente lineales mapa puede ser perturbado para evitar la $K_1$.

Por inducción, suponga que $\gamma$ ha sido perturbado a ser topológicamente transversal a $\gamma_i$ para $i<k$ evitando $K_i$, y considerar la posibilidad de $\gamma_k$. Desde $K_{ik}=K_{ki}$, sabemos que $\gamma\cap\gamma_k$ se encuentra en $U_{ki}:=\gamma_k\setminus K_{ki}$. Tenga en cuenta que $U_{ki}$ tiene la propiedad de que todo lo que puede satisfacer sólo las $\gamma_i$ coincidiendo con lo $\gamma_i$ sobre algunos de los componentes conectados. Por lo tanto, todas las intersecciones de $\gamma$ con $\gamma_k$ que son también las intersecciones de $\gamma$ con $\gamma_i$ para algunos $i<k$ son transversales a $\gamma_k$. Vamos $$N_k=(\gamma\cap\gamma_k)\setminus\bigcup_i(\gamma_k\cap\gamma_i)=(\gamma\cap\gamma_k)\setminus\bigcup_i\mathrm{interior}(\gamma_k\cap\gamma_i).$$ Ahora $N_k$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R^2$ y evita la $\bigcup_{i<k}\gamma_i$, por lo que tiene un vecindario $V_k$ que la separa de la anterior curvas. Ahora sólo nos queda repetir lo que hicimos con $\gamma_1$ e $K_1$ para $\gamma_k$ e $K_k$, pero limitar a nosotros mismos a sólo perturbar $\gamma$ en $V_k$.

Edit: supongo que este es el tipo de inducción Misha estaba hablando. Parece que debería funcionar sin cambios para equidimensional submanifolds en dimensiones superiores, pero el caso general puede ser que necesite un poco más.