Probabilidad de dos cero productos de interior

Question

Considere la posibilidad de un random $n+1$-dimensiones del vector de $v$. Cada una de las $v_1,\dots,v_n$ es igual a $1$ con una probabilidad de $1/2$ $-1$ con una probabilidad de $1/2$ de forma independiente. También nos hemos fijado $v_{n+1} = v_1$.

Ahora considere un random $n$-dimensiones del vector de $w$. Cada una de las $w_i$ es igual a $1$ con una probabilidad de $1/4$ $-1$ con una probabilidad de $1/4$ y es igual a $0$ con una probabilidad de $1/2$, todas las fincas de forma independiente.

Sabemos$$P\left(\sum_{i=1}^n v_i w_i = 0\right) = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2 \rfloor}\frac{n!}{k!(n-2k)!k!}\left(\frac14\right)^k\left(\frac12\right)^{n-2k}\left(\frac14\right)^k \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.$$

Escribí el código de computadora para calcular las probabilidades exactamente para bajita $n$. Parece que numéricamente $$P\left(\sum_{i=1}^n v_{i+1} w_i = 0 \; \land \sum_{i=1}^n v_{i} w_i = 0\right) = \frac{\sum _{i=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} {2(n-2i) \choose n-2i} {n \choose 2i} {4i \choose 2i}}{ 2^{3n - 1}}.$$

Esta igualdad verdadera y ¿cómo se podría demostrarlo?

Answer 1

Yo aun no ha encontrado el tiempo para el estado y simplificar una fórmula, sino que uno tiene que hacer lo siguiente. Primero excluir la posibilidad de que $w_i = 0$. Si una o más de las $w_i$'s son Cero, usted puede reducir el $n$ por esa cantidad. Así que supongamos $w_i$ se distribuyen como $v_i$. Ahora usted construcción $w_i = u_i v_i$ $u_i$ independientemente muestras como $v_i$. De esta manera $w_i$ todavía será Independiente de $v_i$, pero las dos restricciones simplificar a $\sum_{i=1}^n w_i = 0 \wedge \sum_{i = 1}^n v_i v_{i+1} w_i = 0$. Ahora la primera restricción, sólo tiene una solución si $n$ es incluso. En este caso no se $\binom{n}{n/2}$ posibilidades de cada una de ella contiene $n/2$ queridos y $n/2$ menos. Ahora fija $w$ es posible calcular el número de Soluciones de la ecuación de $\sum_{i = 0}^n x_i w_i$. Si $x$ tiene un número de $-1$'s es fácil calcular la probabilidad de $v_i v_{i+1} = x_i$ todos los $i$. Si $x$ tiene un número impar de $-1$, la probabilidad es Cero. De esta manera usted puede venir para arriba con una fórmula, que podría estar Cerca de la que dijo no.