¿Koszul la dualidad entre el $Comm$ e $Lie$ implica el poder de la serie de la identidad $\exp(\ln(1-z))-1 = -z$?

Question

A un simétrica de secuencia $V_\bullet$ de los espacios vectoriales, asociado a la generación de la función $F_V(z) = \sum_n \frac{\dim(V_n)}{n!} z^n$. Entonces

$$F_{Comm_\ast}(z) = \exp(z)-1 \qquad F_{Lie}(z) = \ln(1-z)$$

donde $Comm_\ast$ es la reducción en la conmutativa operad y $Lie$ es la Mentira operad. Observe que

1. Por un lado, estas series son inversas a un signo.

2. Por otro lado, estos operads son Koszul doble (y tal vez el signo se corresponde con el cambio que aparece en Koszul de la dualidad?).

Del mismo modo,

$$F_{Ass_\ast}(z) = \frac{z}{1-z}$$

donde $Ass_\ast$ es la reducción de la asociativo operad. Por un lado, este poder de la serie es su propio inverso hasta un signo. Por otro lado, este operad es Koszul auto-dual.

Pregunta: Es esto una coincidencia? O es que hay alguna conexión más profunda entre (1) y (2)? Más concretamente, es el caso (bajo ciertas condiciones, tal vez) que Koszul doble operads inverso funciones de generación, hasta alguna señal?

Answer 1

Permítanme precisar la respuesta un poco. La declaración general está dada por el Teorema de 7.5.1 en el libro Algebraicas Operads por Loday y Vallette.

En primer lugar una definición. Deje $P = P(E,R)$ ser una ecuación cuadrática operad, con generadores $E$ (f.gen. s.t. $E(0) = 0$) y $R \subset E \circ E$ relaciones cuadráticas. Deje $P^{(r)}(n)$ ser el subespacio de las operaciones de peso $r$ donde $E$ es de peso $1$. Hay una generación de la serie, también conocido como Hilbert-Poincaré de la serie: $$f^P(x,y) = \sum_{r \ge 0, n \ge 1} \frac{\dim P^{(r)}(n)}{n!} y^r x^n.$$

El teorema establece que si $P$ es Koszul, con doble $P^!$, entonces no es un funcional de la ecuación: $$f^{P^!}(f^P(x,y),-y) = x.$$

Comentario: como Nicolás Kuhn explica, esta igualdad se sigue de la acyclicity del complejo de Koszul, el producto $P^¡ \circ P$ con el Koszul diferencial.

$\newcommand{\Com}{\mathsf{Com}}\newcommand{\Lie}{\mathsf{Lie}}$ Aplicar esto a $P = \Lie$, $P^! = \Com$. Es bien sabido que $\Com(n) = \Com^{(n-1)}(n)$ es de dimensión $1$ para $n \ge 1$, mientras que $\Lie(n) = \Lie^{(n-1)}(n)$ es de dimensión $(n-1)!$ para $n \ge 1$. Así, en particular, de obtener \begin{align} f^\Com(x,1) & = \sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n!} = \exp(x) - 1,\\ f^\Lie(x,-1) & = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = \ln(1+x) \end{align}

Aplicar la ecuación funcional a $y = -1$ y consigue $\exp(\ln(1-x))-1=x$.

Answer 2

Sí. (Mathoverflow no me deja hacer de esto mi respuesta total, así que ...)

Koszul dualidad dice que un cierto complejo de cadena de graduados espacios vectoriales es acíclico. Así, la alternancia de la suma de la serie de Poincaré da $z$.