El orden de Bruhat y la correspondencia Robinson-Schensted

Question

El Correspondencia Robinson-Schensted es una biyección entre elementos del grupo simétrico $S_n$ y pares de cuadros estándar de la misma forma. El grupo simétrico está parcialmente ordenado por el orden de Bruhat, por lo que esta biyección induce una ordenación parcial " $\leq$ " en el conjunto de pares de cuadros estándar. ¿Existe una descripción natural "teórica de los cuadros" de $\leq$ ? Es decir, ¿podemos dar una condición necesaria y suficiente para $(S,T)\leq (S',T')$ intrínseca al conjunto de pares de cuadros?

(esto fue publicado en mse hace unas semanas sin respuesta)

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Añadido más tarde: Cada involución en $S_n$ se asigna a un par $(P,P)$ por lo que el orden de Bruhat sobre las involuciones induce un orden sobre los cuadros estándar. La caracterización de este orden aparece como un "problema no resuelto" en la obra de Björner y Brenti Combinatoria de grupos de Coxeter.

Answer 1

La cuestión es natural pero parece difícil de abordar estrictamente dentro de las definiciones combinatorias. Tal vez sea útil sugerir aquí un marco geométrico más amplio, que se aplica de forma más general a los grupos algebraicos reductores pero que implica aquí un grupo lineal general que tiene el grupo simétrico $S_n$ como grupo de Weyl. Recordemos que el "orden de Bruhat" fue definido por Chevalley en el ámbito más general como el orden sobre las celdas de Bruhat en la variedad bandera dado por la inclusión de una celda en el cierre de otra. Estas celdas están naturalmente etiquetadas por elementos de $S_n$ .

Por otra parte, la geometría asociada de la variedad bandera y su haz cotangente (trabajo de Springer, Steinberg, Spaltenstein) conduce a fibras de Springer con componentes equidimensionales. Para el caso lineal general, estas fibras de Springer en la variedad bandera corresponden a particiones (formas de Jordan de elementos unipotentes). En esta configuración, los pares de banderas típicas en componentes de una fibra de Springer se relacionan naturalmente con pares de tablas estándar de la forma determinada por un elemento de $S_n$ en correlación con la correspondencia Robinson-Schensted. Esto es lo que ha puesto de manifiesto Steinberg en un breve documento aquí . El orden Bruhat está al acecho en toda esta maquinaria, pero la conexión con Robinson-Schensted no se hace lo suficientemente explícita.

Otro artículo de 2005 de Anna Melnikov, relacionado con este tema, es el siguiente aquí , tratando la combinatoria de las variedades orbitales (pero sólo en un caso muy especial).