¿Se sabe algo sobre qué números aparecen en la expansión continua de fracciones de $\pi$ ?

Question

Esta pregunta es más que nada curiosidad ociosa, y desde luego no está relacionada con ninguna actividad de investigación propia. La motivación y los antecedentes son los siguientes. Actualmente imparto un seminario de primer año en el que uno de los textos principales es el libro de Hofstadter Gödel, Escher, Bach . En uno de sus diálogos, la Tortuga explica que ha encontrado un contraejemplo al Último Teorema de Fermat, y el exponente $n$ en cuestión es el único número entero positivo que no aparece en la expansión de fracciones continuas de $\pi$ - y esta información es suficiente para que usted también la encuentre.

Esto es más gracioso si lo siguiente fuera cierto en el momento de escribir GEB (1978):

(a) se creía, pero no se sabía, que todos los números enteros positivos aparecen en algún lugar de la expansión continua de fracciones de $\pi$ ;

(b) demostrarlo estaba muy por encima de la tecnología de la época, e incluso decir algo útil sobre qué números aparecen y cuáles no (más allá de calcular los primeros números que aparecen) parece interminable.

Basándome en lo poco que sé sobre problemas similares, mi opinión es que (a) y (b) son ambas ciertas, y siguen siéndolo hoy en día. Las pruebas de esta impresión son Secuencia OEIS A225802 . Pero esto está lejos de mi área de especialización. Por lo tanto, mis preguntas son:

1. ¿Eran (a) y (b) ciertas en 1978?
2. ¿Siguen siendo ciertas hoy en día?

Answer 1

En Teorema de Gauss-Kuzmin dice que si $x$ se elige uniformemente al azar entre (digamos) $[0,1)$ (gracias, John Bentin) entonces como $n\to\infty$ la probabilidad de que el $n$ cociente parcial de $x$ es $k$ tiende a $$\log_2{(k+1)^2\over k(k+2)}$$ En 1978 se creía, y se sigue creyendo hoy en día, que $\pi$ actúa, en este sentido, como un número aleatorio. Hoy estamos 36 años más cerca de demostrarlo que en 1978.